Gleichmässige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 So 18.11.2007 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Überlege, wieso folgende Funktion stetig ist.
Ist sie auch gleichmässig stetig?
f: [mm] \IR_{\ge0} \to \IR [/mm] x [mm] \mapsto \wurzel[n]{x} [/mm] |
Meines Wissen nach, ist diese Funktion stetig. Ich habe dies mit Hilfe der [mm] \varepsilon/\delta-Definition [/mm] gezeigt.
Doch wie kann ich nun das mit der gleichmässigen Stetigkeit zeigen?
|
|
| |
|
Hi,
> Überlege, wieso folgende Funktion stetig ist.
> Ist sie auch gleichmässig stetig?
> f: [mm]\IR_{\ge0} \to \IR[/mm] x [mm]\mapsto \wurzel[n]{x}[/mm]
> Meines
> Wissen nach, ist diese Funktion stetig. Ich habe dies mit
> Hilfe der [mm]\varepsilon/\delta-Definition[/mm] gezeigt.
> Doch wie kann ich nun das mit der gleichmässigen
> Stetigkeit zeigen?
es gibt zwei einfache wege glm. stetigkeit zu zeigen:
1.) wenn eine funktion Lipschitz-stetig ist und/oder eine beschraenkte ableitung hat
2.) wenn sie stetig auf einem kompaktum ist
ich denke, bei deiner aufgabe kannst du diese beiden strategien kombinieren. Teile $R^+$ auf in zwei intervalle.
gruss
matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mo 19.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Also der Satz mit dem Kompaktum ist mir klar, wie auch die Lipschitz-Stetigkeit. Aber wie kann ich diese hier anwenden? Was für zwei Intervalle soll ich wählen?
Habe versucht, die Funktion in die folgende Form zu bringen, um die Lipschitz-Stetigkeit zu zeigen:
|f(x) - f(y)| [mm] \le [/mm] L * |x-y|
Dies ist mir aber nicht gelungen.
|
|
|
| |
|
> Also der Satz mit dem Kompaktum ist mir klar, wie auch die
> Lipschitz-Stetigkeit. Aber wie kann ich diese hier
> anwenden? Was für zwei Intervalle soll ich wählen?
> Habe versucht, die Funktion in die folgende Form zu
> bringen, um die Lipschitz-Stetigkeit zu zeigen:
>
> |f(x) - f(y)| [mm]\le[/mm] L * |x-y|
>
> Dies ist mir aber nicht gelungen.
nimm bspw. die wurzelfunktion [mm] $f(x)=\sqrt{x}$ [/mm] auf $R^+$. teile jetzt $R^+$ auf in zwei intervalle [mm] $I_1=[0,R]$ [/mm] und [mm] $I_2=(R,\infty)$. [/mm] Auf [mm] $I_1$ [/mm] ist f glm. stetig, da [mm] $I_1$ [/mm] kompakt ist. Auf [mm] $I_2$ [/mm] ist $f'$ beschraenkt da monoton fallend und positiv. Aus dem MWS folgt direkt die existenz einer Lipschitz-konstanten. Also ist f auf beiden Intervallen glm. stetig, also auch auf der vereinigung.
gruss
matthias
|
|
|
| |
|
Ich denke, mir müssen die Aufgabe auch ohne Ableitung der Funktion lösen können. Denn diese Thema haben wir noch nicht durchgenommen.
Gibt es denn noch eine andere Möglichkeit, hier die gleichmässige Stetigkeit zu zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Do 22.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
