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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass f: ]0,1] [mm] \to \IR, [/mm] f(x)=1/x nicht gleichmäßig stetig ist. |
Hallo =D
Also wenn ich zum beispiel zeige, dass es für [mm] \varepsilon [/mm] =1 und jedes [mm] \delta>0 [/mm] Punkte x,y gibt mit |x-y|< [mm] \delta [/mm] und |f(x)-f(y)| [mm] \ge \varepsilon
[/mm]
hätte ich ja gezeigt, was ich zeigen wollte, oder?!
Aber wie zeige ich das jetzt ? :(
Kann mir jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße
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Hiho,
na du musst nun Aussgehend von dem was zu haben willst, zeigen, dass es so x und y gibt, so dass das gilt, also müsstest du dann zeigen.
[mm]|f(x) - f(y)| \ge 1[/mm]
[mm]|\bruch{1}{x} - \bruch{1}{y}| \ge 1[/mm]
[mm]|\bruch{y-x}{xy}| \ge 1 [/mm]
[mm] |y-x| \ge xy [/mm]
Fallunterscheidung und wie gehts dann weiter? (Als Tip, stelle einmal nach x und einmal nach y um und überlege dann, warum es immer x,y gibt, so dass das gilt.
MfG,
Gono.
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Sorry, wenn ich mich grad so dumm anstelle, aber irgendwie versteh ich das nicht :(
Also wenn ich nach x auflöse: x [mm] \le [/mm] |y-x|/|y|
und nach y: y [mm] \le [/mm] |y-x|/|x| ..... was kann ich daran sehen? Ich steh grad voll auf dem Schlauch!
Danke für die Hilfe
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Hm,
du hast genau falschrum aufgelöst 
Die Fallunterscheidung sollst du machen, um den Betrag aufzulösen.
Dann addierst du das eine rüber, ausklammern etc.
Noch als Hinweis. |x| = x, |y| = y, |xy| = xy (warum?)
MfG,
Gono.
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Ok, vielen Dank für deine Geduld!!!
Also:
|y| [mm] \ge [/mm] x*y+|x| [mm] \gdw [/mm] |y| [mm] \ge [/mm] |x|*(y+1)
|x| [mm] \ge [/mm] x*y-|y| [mm] \gdw [/mm] |x| [mm] \ge [/mm] |y|* (x-1)
und |x|=x und |y|=y wegen dem Intervall?
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Hm,
also so halb kommst du auf das, worauf es hinausläuft.
Allerdings machst du kleinere Fehler, weil du es nicht sauber aufschreibst.
> |y| [mm]\ge[/mm] x*y+|x| [mm]\gdw[/mm] |y| [mm]\ge[/mm] |x|*(y+1)
Wieso steht da |y| ?
Schreib es doch einmal sauber auf, es muss gelten:
[mm]|y-x| \ge xy[/mm]
1. Fall y [mm] \ge [/mm] x, dann ist |y-x| = .... und weiter gehts
2. Fall x [mm] \le [/mm] y, dann ist |y-x| =.... und weiter gehts
Später wirst du zwar feststellen, dass die Fälle egal sind, aber das ist nicht immer so 
Aufschreiben muss man sie trotzdem mal.
> und |x|=x und |y|=y wegen dem Intervall?
Ja.
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Ok, noch ein Versuch:)
1.Fall:y [mm] \ge [/mm] x, dann gilt |y-x|=y-x
2.Fall:x [mm] \ge [/mm] y, dann gilt |y-x|=x-y
und
1.Fall:
|y-x| [mm] \ge [/mm] x*y
y-x [mm] \ge [/mm] x*y
y [mm] \ge [/mm] x*(1+y)
y-x [mm] \ge [/mm] x*y
x [mm] \le [/mm] 1/x
2.Fall:
|y-x| [mm] \ge [/mm] x*y
x-y [mm] \ge [/mm] x*y
y [mm] \le [/mm] 1/y
x-y [mm] \ge [/mm] x*y
x [mm] \ge [/mm] y(x+1)
ich hoffe, diesmal stimmts. Und wie komme ich jetzt auf meine gesuchten Werte?
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Gesuchte Werte wirst du direkt nicht angeben können, da du dies ja für alle [mm] \delta [/mm] tun müsstest, das wäre eine ziemliche Schreibarbeit
Aber überlegen wir uns doch, was wir zeigen wollen. Wir wollen zeigen, dass es x und y gibt, so dass ALLE Eigenschaften gelten. Also:
1. [mm]|x-y| < \delta[/mm]
2. [mm] x \le y[/mm]
3. [mm]y \ge x(1 +y)[/mm] bzw umgeformt [mm]x \le \bruch{y}{1+y} [/mm]
ODER (2. Fall)
1. [mm]|x-y| < \delta[/mm]
2. [mm] y \le x[/mm]
3. [mm]x \ge y(1 +x)[/mm] bzw umgeformt [mm]y \le \bruch{x}{1+x} [/mm]
Und natürlich gibt es jetzt so x und y aus ]0,1], die obige Bedingungen erfüllen, warum?
MfG,
Gono.
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Weiß nicht, wieso? :S *brett-vor-dem-kopf*
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Beschränken wir uns mal auf Fall 2 und schauen uns Bedingung 3 an.
Wenn wir x frei wählen, erhalten wir hier eine Einschränkung für y.
Was ist dann mit Bedingung 2?
Von welcheen Teilintervallen von ]0,1] weisst du denn definitiv, dass die Elemente einen Abstand kleiner als [mm] \delta [/mm] haben?
MfG,
Gono.
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Für das Intervall ]0,0] ist [mm] |x-y|<\delta [/mm] ?
Wenn ich x frei wähle, dann ist y eine feste zahl, die kleiner ist als x.....
Sorry, aber mit diesem Epsilon-Delta Kriterium komm ich noch nicht so ganz zurecht :(
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Ok,
also das dritte Kriterium liefert uns ja y [mm] \le \bruch{x}{x+1}
[/mm]
Wählen y = [mm] \bruch{x}{x+1}, [/mm] dann gilt y < x (warum?) also die zweite Bedinungung ist erfüllt.
Wenn wir x < [mm] \delta [/mm] wählen, ist auch die 1. Bedingung erfüllt (warum?).
MfG,
gono.
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Also, wähle y=(x/(x+1)), dann gilt y<x (wegen Bedingung 3), dann gilt auch x [mm] \ge [/mm] y und wenn wir x < [mm] \delta [/mm] wählen, dann ist 1.Bedingung erfüllt, wegen 2.bedingung x [mm] \ge [/mm] y, also gilt auch |x-y|< [mm] \delta [/mm] für [mm] x<\delta
[/mm]
Jetzt zeig ich das noch analog für den 1.Fall?!
Und dann gibt es ja den Punkt y=x/(x+1) und den Punkt x= y/(1+y) bei dem gilt, was ich ganz oben zeigen wollte und somit ist f nicht gleichmäßig stetig?
Stimmt das dann so?
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Soo,
also an deinen Begründungen musst du noch arbeiten:
> Also, wähle y=(x/(x+1)), dann gilt y<x (wegen Bedingung 3)
Wieso wegen Bedingung 3? Bedingung 3 sagt mir nur, dass y [mm] \le \bruch{x}{x+1} [/mm] sein soll. Ich hätte jetzt von dir gerne die Begründung, warum aus y [mm] \le \bruch{x}{x+1} [/mm] folgt, dass y < x.
> dann
> ist 1.Bedingung erfüllt, wegen 2.bedingung x [mm]\ge[/mm] y, also
> gilt auch |x-y|< [mm]\delta[/mm] für [mm]x<\delta[/mm]
Auch hier ist die Begründung unsauber bzw lückenhaft. Nur aus y < x folgt noch lange nicht, dass |x-y| < [mm] \delta
[/mm]
Was wäre denn mit y = -1000 und x = [mm] \delta?
[/mm]
Und wieso kann das nicht auftreten?
> Jetzt zeig ich das noch analog für den 1.Fall?!
> Und dann gibt es ja den Punkt y=x/(x+1) und den Punkt x=
> y/(1+y) bei dem gilt, was ich ganz oben zeigen wollte und
> somit ist f nicht gleichmäßig stetig?
Also analog für den zweiten Fall kannst du das als Übung zeigen, wenn wir hier durch sind.
Rein beweistechnisch musst du das nicht tun, weil wir ja bereits aus dem 2. Fall ein x und y finden können, was uns die gleichmäßige Stetigkeit widerlegt und ein Gegenbeispiel reicht ja bekanntlich aus.
Aber als Übung für dich wäre das sicher von Vorteil.
> Stimmt das dann so?
Wir nähern uns
Mathematik ist einfach nur ne Sache des genauen Aufschreibens, d.h. man kommt mit "mein ich doch" nicht so wirklich weit, wenn man es dann nicht auch sauber aufschreiben kann.
Du meinst das richtige, kannst es aber nicht so wirklich "zu Papier" bringen.
MfG,
Gono.
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