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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | | Ist g: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] |x| gleichmäßig stetig? |
Hi!
Frage wie immer oben, mein Lösungsansatz:
Es muss ja gelten: [mm] |x-y|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(y)|<\varepsilon
[/mm]
Nun mache ich eine Fallunterscheidung für rechts und einmal links der y-Achse:
1. Fall: [mm] x>y\ge0 [/mm] : |x-y| = x-y< [mm] \delte [/mm] und ||x|-|y|| =|x-y| = x-y [mm] <\varepsilon. [/mm] Also wähle ich [mm] x-y<\varepsilon [/mm] = [mm] \delta [/mm] und habe auf der positiv Seite der y-Achse schonmal gleichmäßige Stetigkeit oder?
2. Fall: x = -x, y = -y (wobei [mm] y\not=0 [/mm] und x>y) |-x+y| = |x-y| = [mm] x-y<\delta [/mm] und ||-x|-|-y|| = |x-y| = [mm] x-y<\varepsilon [/mm] und kann auch in diesem Fall [mm] x-y<\varepsilon=\delta [/mm] wählen und habe somit auch auf der negativen Seite der y-Achse eine gleichmäßige Steigung und damit für den gesamten Graphen.
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Hallo Pille,
es gilt einfacherweise [mm]||x| - |y|| \le |x-y|[/mm] für alle [mm]x,y \in \IR[/mm], was du ja eigentlich auch gezeigt hast.
Es geht aber sogar ganz ohne Voraussetzungen, sondern halt ganz allgemein und ist meines Erachtens nach einfacher zu zeigen. Und dann bist du ja fertig.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Pille456 |
Könnte es sogar sein, dass g(x) Lipschitz-Stetig ist?
Hierfür muss ja gelten:
$ ||x| - |y|| [mm] \le [/mm] L*|x-y| $ und da ja $ ||x| - |y|| [mm] \le [/mm] |x-y| $ gilt, muss ich L [mm] \ge [/mm] 1 setzen.
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Hallo,
ja das ist richtig!
In der Regel würde man das hier das kleinstmögliche L wählen, also $L:=1$
Übrigens:
Dass die Funktion (außerhalb das Nullpunktes) L-stetig ist, sieht man übrigens sofort daran, dass die Ableitung beschränkt ist. [mm] x_0=0 [/mm] müsste man dann noch getrennt untersuchen, da |x| dort nicht differenzierbar ist. Aber auch dort liegt natürlich L-stetigkeit vor, wie du ja oben gezeigt hast.
Gruß Patrick
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