Gleichmässige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Zeige, dass die auf [mm] \IR [/mm] definierte Funktion f(x) = [mm] x^{2} [/mm] nicht gleichmässig stetig ist.
Meine Lösung (ohne Schluss):
Beh.: f(x) = [mm] x^{2} [/mm] ist gleichmässig stetig.
Bew.: Es gilt: [mm] \exists \delta [/mm] > 0 s.d. [mm] |x^{2}-y^{2}| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] |x-y| < [mm] \delta
[/mm]
|x| < [mm] \delta [/mm] + y --> Setze x:= [mm] \bruch{\delta}{2} [/mm] + y
[mm] |\bruch{\delta}{2} [/mm] + y - y| = [mm] \bruch{\delta}{2} [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
|f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon [/mm] d.h.: [mm] |x^{2}-y^{2}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
|x-y| * |x+y| = [mm] |\bruch{\delta}{2}+y-y| [/mm] * [mm] |\bruch{\delta}{2}+y+y| [/mm]
= [mm] \bruch{\delta}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{\delta}{2}+2*y) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
So und wie geht der Beweis nun weiter?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:35 Di 03.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Aus
$ [mm] \bruch{\delta}{2} [/mm] $ * $ [mm] (\bruch{\delta}{2}+2\cdot{}y) [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
folgt für positives y:
[mm] $\delta [/mm] y < [mm] \varepsilon [/mm] $
Das ist ein Widerspruch, denn [mm] \delta [/mm] hängt nur von [mm] \varepsilon [/mm] ab.
FRED
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