Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei M eine nichtleere Teilmenge von R. Die Funktion f: R-->R sei definiert durch:
f(x):= inf [mm] \{ |x-z| : z \in M \} [/mm] , x [mm] \in \mathbb [/mm] R
Zeigen sie dass f gleichmäßg stetig sind. |
Komme bei dieser Aufgabe auf keinen grünen Zweig.
Bräuchte erst mal eine kurze verständliche Erklärung was genau "gleichmäßige Stetigkeit" bedeutet.
Und dann halt weiter, wie ich diese Aufgabe am besten angehe....
Danke schon mal
LG Lili
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mo 14.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Stetigkeit bedeutet folgendes: [mm] $$\forall\varepsilon>0:\blue{\forall x_0\in\IR}:\red{\exists\delta=\delta(x_0,\varepsilon)>0}:|x_0-x|<\delta\Rightarrow|f(x_0)-f(x)|<\varepsilon.$$ [/mm] Gleichmäßige Stetigkeit bedeutet nun lediglich, dass wir oben zwei Quantoren vertauschen:
[mm] $$\forall\varepsilon>0:\red{\exists\delta=\delta(\varepsilon)>0}:\blue{\forall x_0\in\IR}:|x_0-x|<\delta\Rightarrow|f(x_0)-f(x)|<\varepsilon.$$ [/mm] Anders gesagt: bei "normaler" Stetigkeit darf das [mm] $\delta$ [/mm] sowohl von [mm] $x_0$ [/mm] als auch von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen, bei gleichmäßiger Stetigkeit nur von [mm] $\varepsilon$.
[/mm]
Für deine Aufgabe solltest du dir mal überlegen, warum folgendes für jedes [mm] $x,x_0\in\IR$ [/mm] gilt: [mm] $$\inf_{z\in M}|x-z|\le\inf_{z\in M}|x-x_0|+\inf_{z\in M}|x_0-z|.$$ [/mm] Dies sagt nämlich nichts weiter aus als [mm] $f(x)-f(x_0)\le|x-x_0|$. [/mm] Analog folgt dann [mm] $f(x_0)-f(x)\le|x-x_0|$ [/mm] und dann bist du schon fast fertig.
Gruß, Robert
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| Aufgabe | | [mm] \inf_{z\in M}|x-z|\le\inf_{z\in M}|x-x_0|+\inf_{z\in M}|x_0-z|. [/mm] |
ich verstehe ehrlich gesagt nich, wo man den zweiten ausdruck herbekommt?
und bei dem ersten teil vom zweiten ausdruck versteh ich nich warum da steht: [mm] \inf_{z\in M}|x-x_0| [/mm] weil da ja gar kein z vorkommt, aber unter dem inf [mm] z\in [/mm] M steht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 14.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Dreiecksungleichung besagt [mm] $|x-z|\le|x-x_0|+|x_0-z|$. [/mm] Jetzt kann Auf beiden Seiten das Infimum nehmen, und die Ungleichung bleibt erhalten, d.h. [mm] $\inf_{z\in M}|x-z|\le\inf_{z\in M}(|x-x_0|+|x_0-z|)$ [/mm] Und die rechte Seite kann man jetzt noch auseinandernehmen (warum?).
Gruß, Robert
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ja ok, da kann man natürlich jetzt auseinanderziehen, weil es eben nur um das z geht oder??
aber das [mm] |x-z|\le|x-x_0|+|x_0-z| [/mm] ist doch nicht die dreiecksungleichung??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja ok, da kann man natürlich jetzt auseinanderziehen, weil
> es eben nur um das z geht oder??
>
> aber das [mm]|x-z|\le|x-x_0|+|x_0-z|[/mm] ist doch nicht die
> dreiecksungleichung??
Was denn dann ?
$|x-z| = [mm] |(x-x_0)+(x_0-z)|\le|x-x_0|+|x_0-z|$
[/mm]
Siehst Du es jetzt ?
FRED
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| Aufgabe | | |a+b| [mm] \le [/mm] |a|{+}|b|. |
also das hatten wir als dreiecksungleichung definiert...
deswegen hatte ich es nicht verstanden, warum du da was mit - gemacht hast.
|x-z| = [mm] |(x-x_0)+(x_0-z)|\le|x-x_0|+|x_0-z|
[/mm]
das leuchtet dann aber ein=)
so, war denn dann meine folgerung richtig, dass man das infimum trennen kann wegen dem z, das im ersten teil nich drin steckt...`?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Mo 14.12.2009 | | Autor: | pelzig |
> so, war denn dann meine folgerung richtig, dass man das
> infimum trennen kann wegen dem z, das im ersten teil nich
> drin steckt...'?
Du sollst nicht uns überzeugen, sondern du sollst dich selbst restlos überzeugen. Wenn ich mir die Definition des Infimums hernehme (=größte untere Schranke), dann ist das gar nicht so klar... oder? :)
Gruß, Robert
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hm ich finde das schon irgendwie logisch, weil ja nur das z ausschlaggebend ist für das infimum.
allerdings würde ich dann auch das inf vor der ersten teil weglassen, also eigentlich den ersten teil aus der infimumbetrahctung rausziehen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 16.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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f(x) = [mm] \inf_{z\in M}|x-z|\le\inf_{z\in M}(|x-x_0|+|x_0-z|) [/mm] = [mm] |x-x_0|+\inf_{z\in M}|x_0-z| [/mm] = [mm] |x-x_0| [/mm] + [mm] f(x_0)
[/mm]
das wäre das was ich dann hätte.
das kann ich ja umformen in:
f(x) - [mm] f(x_0) \le |x-x_0|
[/mm]
von da müsste man doch irgendwie auf: |f(x) - [mm] f(x_0)| \le |x-x_0| [/mm] kommen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> f(x) = [mm]\inf_{z\in M}|x-z|\le\inf_{z\in M}(|x-x_0|+|x_0-z|)[/mm]
> = [mm]|x-x_0|+\inf_{z\in M}|x_0-z|[/mm] = [mm]|x-x_0|[/mm] + [mm]f(x_0)[/mm]
>
> das wäre das was ich dann hätte.
>
> das kann ich ja umformen in:
>
> f(x) - [mm]f(x_0) \le |x-x_0|[/mm]
>
> von da müsste man doch irgendwie auf: |f(x) - [mm]f(x_0)| \le |x-x_0|[/mm]
> kommen...
Wir haben
(1) $f(x) - [mm] f(x_0) \le |x-x_0|$
[/mm]
Ganz genauso erhält man
(2) [mm] $f(x_0) [/mm] - f(x) [mm] \le |x_0-x|=|x-x_0|$
[/mm]
Aus (1) und (2) erhält man
$|f(x) - [mm] f(x_0)| \le |x-x_0|$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Mo 14.12.2009 | | Autor: | lilithilli |
stimmt ich hatte ganz vergessen dass man ja beim betrag einer differenz die zahlen vertauschen kann =)
danke
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