Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Do 27.09.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle!
Sei $R>0$ und [mm] $\chi_R\in C^{\infty}([0,\infty[,[0,1])$ [/mm] mit
[mm] $\chi_R(r)=\begin{cases}0 &,\,0\leqslant r\leqslant R\\\in[0,1] &,\,R\leqslant r\leqslant 2R\\1 &,\,2R\leqslant r<\infty\end{cases}$
[/mm]
Ist diese Funktion gleichmäßig stetig auf [mm] $[0,\infty[$? [/mm] Wie kann ich das zeigen?
Idee: Offensichtlich ist die Funktion in [mm] $r\in[0,R]\cup[2R,\infty[$ [/mm] konstant, also
insbesondere gleichmäßig stetig. Auf dem kompakten Intervall $[R,2R]$ ist sie
stetig, also gleichmäßig stetig. Also ist sie automatisch auf [mm] $[0,\infty[$ [/mm] gleichmäßig stetig.
Ist die Argumentation richtig?
Sorry, für die leichte Frage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Do 27.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo an alle!
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> Sei [mm]R>0[/mm] und [mm]\chi_R\in C^{\infty}([0,\infty[,[0,1])[/mm] mit
>
> [mm]\chi_R(r)=\begin{cases}0 &,\,0\leqslant r\leqslant R\\\in[0,1] &,\,R\leqslant r\leqslant 2R\\1 &,\,2R\leqslant r<\infty\end{cases}[/mm]
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> Ist diese Funktion gleichmäßig stetig auf [mm][0,\infty[[/mm]? Wie
> kann ich das zeigen?
>
> Idee: Offensichtlich ist die Funktion in
> [mm]r\in[0,R]\cup[2R,\infty[[/mm] konstant, also
> insbesondere gleichmäßig stetig. Auf dem kompakten
> Intervall [mm][R,2R][/mm] ist sie
> stetig, also gleichmäßig stetig. Also ist sie automatisch
> auf [mm][0,\infty[[/mm] gleichmäßig stetig.
>
> Ist die Argumentation richtig?
>
> Sorry, für die leichte Frage.
Die Latex-Formatierungen werden bei mir nicht angezeigt.
Liegt das Problem bei mir, oder geht es anderen auch so ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Do 27.09.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hat sich erledigt. Die Aussage stimmt.
@Fred: Die Anzeige der Formeln hat vorhin etwas länger gehangen. Der Quellcode von mir war aber korrekt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Do 27.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Hallo Denny,
[mm] \chi_R [/mm] ist sogar Lipschitzstetig auf [0, [mm] \infty), [/mm] denn die Ableitung [mm] \chi_R' [/mm] ist auf [0, [mm] \infty) [/mm] beschränkt.
FRED
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