Gleichmäßige Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Di 04.10.2005 | | Autor: | Farnsy |
Hallo allerseits!
Ich würde gerne wissen, ob es ein einfaches Verfahren gibt, mit dem man einer Funktion ansehen kann, ob sie gleichm. stetig oder nicht ist.
Irgendwie hatte ich im Hinterkopf, dass eine Funktion dann gleichmäßig stetig ist, wenn ihre Ableitung beschränkt ist.
Das scheint aber irgendwie nicht immer hinzuhauen.
Gibt es sowas in der Art überhaupt?
danke schon mal im Voraus!
Martin
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Di 04.10.2005 | | Autor: | t.sbial |
Das klappt auch für Funktionen mit reellem Definitionsbereich. Denn da ist eine beschränkte Ableitung äquivalent mit Lipschitz-Stetigkeit.
Und Lipschitzstetig=> glm. stetig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Di 04.10.2005 | | Autor: | Farnsy |
Ich danke dir,
aber was ist mit diesem Beispiel:
[mm]f: \IR \backslash \{3\} \to \IR,
f(x) = \bruch{1}{x-3}[/mm]
das ist doch auch eine reelle funktion, deren Ableitung begrenzt ist.
Oder müssen die reellen Zahlen 'kein Lücke' haben, damit ich diese Methode anwenden darf?
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Hi,
gerade bei deinem Beispiel reicht es ja zu gucken, ob der linksseitige und rechtsseitige Limes im Punkt 3 übereinstimmen, denn der Rest der Funktion ist ja auf jeden Fall stetig.
Also guck einfach, was die Limiten ergeben und schon weißt du ob die Funktion stetig ist.
LG
Britta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Di 04.10.2005 | | Autor: | Farnsy |
oh, da hatte ich wohl ein ziemliches Brett vor dem Kopf.
Die Aufgabe stand in einem Buch und man sollte auf gleichm. Stetigkeit überprüfen, da hab ich die punktweise Stetigkeit einfach vorausgesetzt und erst gar nicht überprüft..
Ich danke euch 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Di 04.10.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
du vertust dich da etwas, die Funktion ist nicht punktweise stetig, da die Funktion ja "normal ist" keine Funktionenfolge .
Ich glaube, du verwechselst das mit gleichmäßiger Konvergenz
LG
Britta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Di 04.10.2005 | | Autor: | Farnsy |
'punktweise stetig' ist doch nur ein anderer Begriff für 'stetig'.
also zumindest meines erachtens ist das äquivalent ;)
Aber dass die Funktion doch stetig/punktweise stetig ist, sagt ja auch Matthias.
Grüße
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>
> [mm]f: \IR \backslash \{3\} \to \IR,
f(x) = \bruch{1}{x-3}[/mm]
>
stetig ist diese funktion natürlich auf ihrem definitionsbereich, bei dem ja die $3$ explizit ausgeschlossen ist.
allerdings ist ihre ableitung mitnichten beschränkt, sondern genauso ein pol bei $3$ wie die funktion selbst. Man kann also die glm. stetigkeit so nicht folgern, was ja auch sinnvoll ist, da sie auf ihrem def.-bereich zwar stetig aber nicht glm. stetig ist.
Viele Grüße
Matthias
> das ist doch auch eine reelle funktion, deren Ableitung
> begrenzt ist.
> Oder müssen die reellen Zahlen 'kein Lücke' haben, damit
> ich diese Methode anwenden darf?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Di 04.10.2005 | | Autor: | Farnsy |
ah ok.. da ging davor wohl einiges durcheinander :s
aber so ganz klar ist mir das alles irgendwie doch noch nicht.
Was ist mit dieser Funktion:
[mm]f: \IR \to \IR, x \mapsto f(x) := \wurzel{|x|}[/mm]
Die Ableitung ist doch [mm]f'(x) = \bruch{1}{2\*\wurzel{|x|}} \*sgn(x)[/mm]
Dann hat die Ableitung bei x=0 doch auch einen Pol und ist nicht beschränkt.
Trotzdem soll die Funktion gleichmäßig stetig sein.
Ist das jetzt ein Beispiel für eine gleichm. aber nicht lipschitzstetige Funktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Di 04.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Trotzdem soll die Funktion gleichmäßig stetig sein.
Sie ist es.
> Ist das jetzt ein Beispiel für eine gleichm. aber nicht
> lipschitzstetige Funktion?
Ja.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Di 04.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Martin!
Was auch noch recht nützlich sein kann:
Auf einem abgeschlossenen Intervall ist jede stetige Funktion auch gleichmäßig stetig.
Argumentieren kann man hier natürlich auch mit der Ableitung, denn die ist auf einem abgeschlossenen Intervall ja auf jeden Fall beschränkt.
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