Gleichmaßig stetig < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mo 31.01.2005 | | Autor: | brunni |
Hi, ich hab Probleme mit einer Aufgabe. Hoffe mir kann jemand helfen.
(i) Es seien [mm] (X,d_x) [/mm] und [mm] (Y,d_y) [/mm] zwei metrische Räume, f: X->Y eine gleichmäßig steitge Funktion und [mm] (a_n)_nN [/mm] eine Cauchyfolge in X. Beweisen Sie, dass die entsprechende Bildfolge [mm] (f(a_n)) [/mm] eine Cauchyfolge in Y ist.
Ich muss hier doch beweisen, dass die Bildfolge auch konvregirt, oder? Wie kommt hier aber die gleichmäßige Stetigkeit ins Spiel?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mo 31.01.2005 | | Autor: | felixs |
> Ich muss hier doch beweisen, dass die Bildfolge auch
> konvregirt, oder? Wie kommt hier aber die gleichmäßige
> Stetigkeit ins Spiel?
naja wenn du hast dass die bildfolge CF ist, dann haengt konvergenz eben nur noch davon ab, ob dein bildraum vollstaendig ist => nein du musst nicht zeigen dass die konvergiert, da sie das i.A. nicht tun wird.
das mit der glm stetigkeit kurz an einem gegenbsp erlaeutert:
sei $f: ]0,1[ [mm] \to [/mm] ]0,1[, x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$. [/mm] das ist NICHT glm stetig.
jetzt nimm als folge [mm] $a_n=\frac{1}{n}$, [/mm] das ist cauchyfolge. und [mm] $f(a_n)$ [/mm] ist keine CF.
moeglicherweise stimmt das so, aber war eher sone spontanidee, also denkfehler nicht auszuschliessen.
gruss
--felix
PS: http://www.mat.univie.ac.at/~kriegl/Skripten/Math4Ilak2/node11.html
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Di 01.02.2005 | | Autor: | brunni |
Nur damit ich mich da nicht total in der Def. täusche.
Der Abstand von f(x) und f(y) muss kleiner als Epsilon sein. Egal welche beiden Bildfolgeteile nehme. Ich kann mir des irgendwie nur, wie bei der Konzergenz von folgen vorstellen. Vielleicht hat ja noch jemand ne idee.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:12 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo brunni!
> Nur damit ich mich da nicht total in der Def. täusche.
>
> Der Abstand von f(x) und f(y) muss kleiner als Epsilon
> sein. Egal welche beiden Bildfolgeteile nehme. Ich kann mir
> des irgendwie nur, wie bei der Konzergenz von folgen
> vorstellen. Vielleicht hat ja noch jemand ne idee.
Ich denke, ich kann deine Rückfrage einfach mal auf beantwortet stellen (siehe https://matheraum.de/read?i=41225). Oder willst du noch was zur glm. Stetigkeit wissen?
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Di 01.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Brunni!
> Hi, ich hab Probleme mit einer Aufgabe. Hoffe mir kann
> jemand helfen.
>
> (i) Es seien [mm](X,d_x)[/mm] und [mm](Y,d_y)[/mm] zwei metrische Räume, f:
> X->Y eine gleichmäßig steitge Funktion und [mm](a_n)_nN[/mm] eine
> Cauchyfolge in X. Beweisen Sie, dass die entsprechende
> Bildfolge [mm](f(a_n))[/mm] eine Cauchyfolge in Y ist.
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben. Da $f$ glm. stetig ist, existiert ein [m]\delta=\delta_{\varepsilon}>0[/m], so dass :
[mm] $(\star)$ [/mm] Für alle $r,s [mm] \in [/mm] X$ mit [m]d_x(r,s)<\delta[/m] gilt: [mm] $d_y(f(r),f(s))<\varepsilon$.
[/mm]
Da [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] Cauchy in [mm] $(X,d_x)$ [/mm] ist, existiert ein [m]N=N_{\delta}=N_{\delta_{\varepsilon}}=N_{\varepsilon} \in \IN[/m], so dass für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $d_x(a_n,a_m)<\delta$. [/mm] Wegen [mm] $(\star)$ [/mm] folgt daraus:
[mm] $d_y(f(a_n),f(a_m))<\varepsilon$ $\forall [/mm] n,m [mm] \ge [/mm] N$.
Also ist auch [mm] $(f(a_n))_{n \in \IN}$ [/mm] Cauchy (in [mm] $(Y,d_y)$), [/mm] da [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig war.
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Di 01.02.2005 | | Autor: | brunni |
Super, vielen Dank. Schaut eigentlich recht logisch aus. blöd, dass ich da nicht selbst draufgekommen bin.
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