Gleichseitiges Dreieck < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Im Anschluss an diese Aufgabe bin ich noch auf
folgende Fragestellung gestossen, die ich hier für
Leute angeben möchte, die sich gerne mit solchen
Rätseln beschäftigen:
| Aufgabe | Die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks ABC in der
x-y-Ebene seien
$\ [mm] A(x_A\,/\,y_A)\qquad B(x_B\,/\,y_B)\qquad C(x_C\,/\,y_C)$ [/mm]
Gesucht ist die Funktion F(u,v,w) mit der Eigenschaft,
dass
[mm] F(x_A [/mm] , [mm] x_B [/mm] , [mm] x_C) [/mm] = Flächeninhalt des Dreiecks ABC . |
Bemerkung:
Die Lösung hat sehr interessante Eigenschaften:
1.) Sie ist unabhängig von der Reihenfolge der drei
Argumente.
2.) Anstelle der x-Koordinaten kann man ebensogut
die y-Koordinaten der drei Eckpunkte einsetzen.
3.) Sie ist invariant gegenüber einer beliebigen ortho-
gonalen Koordinatentransformation.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:07 Do 06.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Im Anschluss an diese Aufgabe
> bin ich noch auf
> folgende Fragestellung gestossen, die ich hier für
> Leute angeben möchte, die sich gerne mit solchen
> Rätseln beschäftigen:
>
> Die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks ABC in der
> x-y-Ebene seien
>
> [mm]\ A(x_A\,/\,y_A)\qquad B(x_B\,/\,y_B)\qquad C(x_C\,/\,y_C)[/mm]
>
>
> Gesucht ist die Funktion F(u,v,w) mit der Eigenschaft,
> dass
>
> [mm]F(x_A[/mm] , [mm]x_B[/mm] , [mm]x_C)[/mm] = Flächeninhalt des Dreiecks ABC .
Hallo,
wenn eine Dreieckseite ursprünglich auf der x-Achse lag und dann um den eingezeichneten Winkel [mm] \alpha [/mm] (grün) gedreht wurde, sind Längen d und e der beiden eingezeichneten Teilstrecken die jeweiligen x-Koordinaten-Differenzen (und damit quasi gegeben).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für den blau eingezeichneten Winkel gilt dann [mm] sin(30°-\alpha) [/mm] =d/a, und für den roten Winkel gilt
[mm] sin(30°+\alpha)=e/a.
[/mm]
Das sind 2 Gleichungen mit den Unbekannten [mm] \alpha [/mm] und a.
Mit ein paar Additionstheoremen sollte das lösbar sein, und wenn man a hat, hat man auch die Fläche.
Geometrisch entspricht das der Aufgabe "Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck, dessen Eckpunkte auf 3 gegebenen Parallelen liegen." Diese Aufgabe ist mit einer geeigneten 60°-Drehung der gesamten Parallelenschar lösbar.
Gruß Abakus
>
> Bemerkung:
>
> Die Lösung hat sehr interessante Eigenschaften:
>
> 1.) Sie ist unabhängig von der Reihenfolge der drei
> Argumente.
> 2.) Anstelle der x-Koordinaten kann man ebensogut
> die y-Koordinaten der drei Eckpunkte einsetzen.
> 3.) Sie ist invariant gegenüber einer beliebigen ortho-
> gonalen Koordinatentransformation.
>
>
> LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Abakus,
ich habe mir die Lösung schon zurechtgelegt,
bevor ich die Frage hier hereingestellt habe.
Die Lösung ist ein recht einfaches, symme-
trisches Polynom in den drei Variablen.
Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Do 06.08.2009 | | Autor: | abakus |
> > Im Anschluss an diese Aufgabe
> > bin ich noch auf
> > folgende Fragestellung gestossen, die ich hier für
> > Leute angeben möchte, die sich gerne mit solchen
> > Rätseln beschäftigen:
> >
> > Die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks ABC in der
> > x-y-Ebene seien
> >
> > [mm]\ A(x_A\,/\,y_A)\qquad B(x_B\,/\,y_B)\qquad C(x_C\,/\,y_C)[/mm]
> >
> >
> > Gesucht ist die Funktion F(u,v,w) mit der Eigenschaft,
> > dass
> >
> > [mm]F(x_A[/mm] , [mm]x_B[/mm] , [mm]x_C)[/mm] = Flächeninhalt des Dreiecks ABC .
> Hallo,
> wenn eine Dreieckseite ursprünglich auf der x-Achse lag
> und dann um den eingezeichneten Winkel [mm]\alpha[/mm] (grün)
> gedreht wurde, sind Längen d und e der beiden
> eingezeichneten Teilstrecken die jeweiligen
> x-Koordinaten-Differenzen (und damit quasi gegeben).
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Für den blau eingezeichneten Winkel gilt dann
> [mm]sin(30°-\alpha)[/mm] =d/a, und für den roten Winkel gilt
> [mm]sin(30°+\alpha)=e/a.[/mm]
> Das sind 2 Gleichungen mit den Unbekannten [mm]\alpha[/mm] und a.
> Mit ein paar Additionstheoremen sollte das lösbar sein,
> und wenn man a hat, hat man auch die Fläche.
> Geometrisch entspricht das der Aufgabe "Konstruiere ein
> gleichseitiges Dreieck, dessen Eckpunkte auf 3 gegebenen
> Parallelen liegen." Diese Aufgabe ist mit einer geeigneten
> 60°-Drehung der gesamten Parallelenschar lösbar.
> Gruß Abakus
Hallo,
ich habe gerade mal etwas mehr Zeit und will mal testen, ob der Weg so einfach ist, wie ich vermute.
Die Gleichungen sind
(1) 0,5 [mm] cos\alpha-\bruch{\wurzel3}{2}sin\alpha=d/a
[/mm]
(2) 0,5 [mm] cos\alpha+\bruch{\wurzel3}{2}sin\alpha=e/a
[/mm]
Daraus folgt
(1)+(2): [mm] cos\alpha=(d+e)/a
[/mm]
(2)-(1): [mm] \wurzel3 sin\alpha=(e-d)/a
[/mm]
Quuotient aus letzter und vorletzter Gleichung:
[mm] \wurzel3 tan\alpha=\bruch{e-d}{e+d},
[/mm]
also [mm] tan\alpha=\bruch{e-d}{\wurzel3(e+d)}
[/mm]
Zumindest numerisch hat man es jetzt für alpha.
Schön ist die Lösung aber nicht, weil a dann formal einen Ausdruck mit sin(arctan(...)) und cos(arctan(...)) ergibt.
Gruß Abakus
> >
> > Bemerkung:
> >
> > Die Lösung hat sehr interessante Eigenschaften:
> >
> > 1.) Sie ist unabhängig von der Reihenfolge der drei
> > Argumente.
> > 2.) Anstelle der x-Koordinaten kann man ebensogut
> > die y-Koordinaten der drei Eckpunkte einsetzen.
> > 3.) Sie ist invariant gegenüber einer beliebigen
> ortho-
> > gonalen Koordinatentransformation.
> >
> >
> > LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Do 06.08.2009 | | Autor: | wauwau |
Also sei einfach [mm] (x_{A}|y_{A}) [/mm] = (0|0) sonst werden die Koordinaten einfach angepasst. (Translation)
Da Dreieck gleichseitig ist, gilt
A=0, [mm] B=a*e^{i.\phi}, C=a*e^{i(\bruch{\pi}{3}+\phi)}
[/mm]
daher
[mm] x_{B} [/mm] = [mm] a*cos(\phi)
[/mm]
[mm] x_{C} [/mm] = [mm] a*cos(\bruch{\pi}{3}+\phi)
[/mm]
Additionstheoreme und sin/cos in Beziehung gesetzt ergibt zwei Gleichungen mit den Variablen a und [mm] cos(\phi)
[/mm]
nach [mm] a^{2} [/mm] auflösen ergibt in etwa für den Flächeninhalt [mm] (\bruch{a^{2}}{4}\wurzel{3})
[/mm]
[mm] \wurzel{3}*(\bruch{1}{3}(\bruch{x_{C}}{2}-x_{B})^{2}+\bruch{x_{C}^{2}}{4})
[/mm]
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> Also sei einfach [mm](x_{A}|y_{A})[/mm] = (0|0) sonst werden die
> Koordinaten einfach angepasst. (Translation)
>
> Da Dreieck gleichseitig ist, gilt
>
> A=0, [mm]B=a*e^{i.\phi}, C=a*e^{i(\bruch{\pi}{3}+\phi)}[/mm]
>
> daher
> [mm]x_{B}[/mm] = [mm]a*cos(\phi)[/mm]
> [mm]x_{C}[/mm] = [mm]a*cos(\bruch{\pi}{3}+\phi)[/mm]
>
> Additionstheoreme und sin/cos in Beziehung gesetzt ergibt
> zwei Gleichungen mit den Variablen a und [mm]cos(\phi)[/mm]
>
> nach [mm]a^{2}[/mm] auflösen ergibt in etwa für den Flächeninhalt
> [mm](\bruch{a^{2}}{4}\wurzel{3})[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3}*(\bruch{1}{3}(\bruch{x_{C}}{2}-x_{B})^{2}+\bruch{x_{C}^{2}}{4})[/mm]
Das ist richtig. Man kann das Ergebnis noch
umformen zu:
[mm] (x_B^2+x_C^2-x_B*x_C)/\sqrt{3} [/mm]
In gewissem Sinne wird die Formel noch etwas
"schöner" (nämlich symmetrisch in allen drei
Variablen), wenn man [mm] x_A [/mm] nicht wegtransformiert.
LG Al-Chw.
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| Aufgabe | Die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks ABC in der
x-y-Ebene seien
$\ [mm] A(x_A\,/\,y_A)\qquad B(x_B\,/\,y_B)\qquad C(x_C\,/\,y_C)$ [/mm]
Gesucht ist die Funktion F(u,v,w) mit der Eigenschaft,
dass
[mm] F(x_A [/mm] , [mm] x_B [/mm] , [mm] x_C) [/mm] = Flächeninhalt des Dreiecks ABC . |
Lösung:
$\ F(u,v,w)\ =\ [mm] \left(u^2+v^2+w^2-u\,v-v\,w-w\,u\right)/\sqrt{3}$
[/mm]
Diese Funktion ist offensichtlich invariant gegenüber
beliebigen Permutationen ihrer drei Argumente.
Alle ihre Summanden sind von 2. Ordnung. Dies
steht natürlich in Verbindung damit, dass F einen
Flächeninhalt beschreibt.
Dies bringt mich auf eine weitere Frage:
Gibt es ein höherdimensionales Analogon ?
Ich fragte mich natürlich zunächst, ob es
möglich sei, z.B. allein aus den x-Koordinaten
der vier Eckpunkte eines regelmässigen Tetra-
eders im [mm] \IR^3 [/mm] auf dessen Volumen (und damit auch
dessen Kantenlänge) zu schließen. Falls es ginge,
käme man wohl zu einer symmetrischen Funk-
tion $\ V(t,u,v,w)$ mit Teiltermen wie [mm] t^3+u^3+v^3+w^3,
[/mm]
$\ tuv+uvw+vwt+wtu$ , $\ t^2u+u^2v+v^2w+w^2t$ etc.
Dies scheint aber so nicht zu gehen.
LG Al-Chwarizmi
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