Gleichseitiges Dreieck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:45 Do 24.09.2009 | | Autor: | BAGZZlash |
Hi!
Ich habe zwei zweidimensionale Vektoren [mm] \vec{a}=\vektor{a_{1} \\ a_{2}} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vektor{b_{1} \\ b_{2}}. [/mm] Nun möchte ich einen dritten Punkt [mm] \vec{c}=\vektor{c_{1} \\ c_{2}} [/mm] finden, der mit den beiden anderen Punkten ein gleichseitiges Dreieck aufspannt (alle Seiten sind gleich lang, alle Winkel betragen 60°). Durch Spiegelung sind genau zwei Punkte denkbar.
Wie mache ich das?
Danke und viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Do 24.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Ich habe zwei zweidimensionale Vektoren
> [mm]\vec{a}=\vektor{a_{1} \\ a_{2}}[/mm] und [mm]\vec{b}=\vektor{b_{1} \\ b_{2}}.[/mm]
> Nun möchte ich einen dritten Punkt [mm]\vec{c}=\vektor{c_{1} \\ c_{2}}[/mm]
> finden, der mit den beiden anderen Punkten ein
> gleichseitiges Dreieck aufspannt (alle Seiten sind gleich
> lang, alle Winkel betragen 60°). Durch Spiegelung sind
> genau zwei Punkte denkbar.
> Wie mache ich das?
Willst Du es rechnerisch machen oder durch eine geometrische Konstruktion (Zirkel ....) ?
FRED
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> Danke und viele Grüße
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> Willst Du es rechnerisch machen oder durch eine
> geometrische Konstruktion (Zirkel ....) ?
Rechnerisch.
Meine Überlegungsansätze waren
1. Der gesuchte Punkt liegt auf dem umgebenden Kreisbogen.
2. Alle Winkel der gesuchten Dreiecks betragen 60°.
3. Der gesuchte Punkt steht orthogonal zur ersten Gerade (die zwischen den beiden ursprünglichen Punkten) über dem Mittelpunkt der Strecke (den man ja auch ausrechnen kann).
Bisher bin ich aber bei keinem der Ansätze weiter gekommen.
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Hallo,
wenn ich es recht verstehe, hast Du 2 Punkte A und B gegeben mit den von Dir angegebenen Ortsvektoren. Richtig?
Und nun suchst Du einen dritten Punkt C, so daß die drei Punkte ein gleichseitiges Dreieck bilden.
> 1. Der gesuchte Punkt liegt auf dem umgebenden Kreisbogen.
> 2. Alle Winkel der gesuchten Dreiecks betragen 60°.
> 3. Der gesuchte Punkt steht orthogonal zur ersten Gerade
> (die zwischen den beiden ursprünglichen Punkten) über dem
> Mittelpunkt der Strecke (den man ja auch ausrechnen kann).
>
> Bisher bin ich aber bei keinem der Ansätze weiter
> gekommen.
Da Du nicht zeigst, was Du getan hast, kann man natürlich nicht irgendwo einhaken.
Ich gehe mal auf die Idee 3. ein insofern, als daß ich ein paar anregende Fragen stelle:
Ein Punkt kann natürlich nicht orthogonal zu irgendwas sein.
Aber: C liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke (AB).
Wo ist denn der Mittelpunkt M von (AB)?
Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch M geht und senkrecht auf (AB) steht?
Wie lang ist die Strecke (AB)?
Wie weit ist C von der Strecke (AB) entfernt? (Pythagoras)
Gruß v. Angela
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> Wo ist denn der Mittelpunkt M von (AB)?
> Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch M geht und
> senkrecht auf (AB) steht?
>
> Wie lang ist die Strecke (AB)?
> Wie weit ist C von der Strecke (AB) entfernt?
> (Pythagoras)
Schonmal danke! All diese Fragen kann ich beantworten. Ich weiß also, dass ich beispielsweise von M aus fünf Einheiten in eine der beiden Richtungen entlang der Funktion der Orthogonalen marschieren muss. Am Ziel liegt der gesuchte Punkt. Frage ist nur: Wie mach' ich das? Muss ich irgendwie die Entfernung mit der Steigung multiplizieren, um den x-Wert zu finden und danach diesen x-Wert in die Funktion einsetzen und auflösen? Der letzte Kick fehlt mir noch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Do 24.09.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo BAGZZlash,
> > Wo ist denn der Mittelpunkt M von (AB)?
> > Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch M geht
> und
> > senkrecht auf (AB) steht?
> >
> > Wie lang ist die Strecke (AB)?
> > Wie weit ist C von der Strecke (AB) entfernt?
> > (Pythagoras)
>
> Schonmal danke! All diese Fragen kann ich beantworten. Ich
> weiß also, dass ich beispielsweise von M aus fünf
> Einheiten in eine der beiden Richtungen entlang der
> Funktion der Orthogonalen marschieren muss. Am Ziel liegt
> der gesuchte Punkt. Frage ist nur: Wie mach' ich das? Muss
> ich irgendwie die Entfernung mit der Steigung
> multiplizieren, um den x-Wert zu finden und danach diesen
> x-Wert in die Funktion einsetzen und auflösen? Der letzte
> Kick fehlt mir noch.
Wie kommst Du an die 5?
Du kannst doch die Gleichung des Kreises um A mit dem Radius $ [mm] \overline{AB} [/mm] $ aufstellen. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit der Mittelsenkrechten liefern Dir die beiden Lösungen für C.
Gruß
Sigrid
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> > Wo ist denn der Mittelpunkt M von (AB)?
> > Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch M geht
> und
> > senkrecht auf (AB) steht?
> >
> > Wie lang ist die Strecke (AB)?
> > Wie weit ist C von der Strecke (AB) entfernt?
> > (Pythagoras)
>
> Schonmal danke! All diese Fragen kann ich beantworten. Ich
> weiß also, dass ich beispielsweise von M aus fünf
> Einheiten in eine der beiden Richtungen entlang der
> Funktion der Orthogonalen marschieren muss. Am Ziel liegt
> der gesuchte Punkt. Frage ist nur: Wie mach' ich das?
Hallo,
da Du im Forum "Vektorrechnung" postest, schwebt mir folgende Losung vor:
Wie lautet der Einheitsvektor [mm] \vec{e}, [/mm] der senkrecht auf (AB) steht? (Richtungsvektor der Mittelsenkrechten normieren)
Von M aus gehst Du dann die benötigte Anzahl von Einheiten - bei Dir anscheinend 5 - in diese Richtung, berechnest also [mm] \overrightarrow{0M}\pm 5\vec{e}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Fr 25.09.2009 | | Autor: | BAGZZlash |
Hi!
Alles klar, vielen Dank für die Hilfe. 
Grüße
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