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Gleichsetzen von E-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:49 Do 10.01.2008
Autor: philo

Aufgabe
Bestimme den Schnittpunkt der Geraden g mit dem Graph F.
F: $ [mm] f(x)=x*e^{1-x} [/mm] $
g: $ [mm] g(x)=(4-x)*e^{-1} [/mm] $

Hi,

ich habe zunächst die beiden Gleichungen gleichgesetzt:

$ f(x) = g(x) $
$ [mm] x*e^{1-x} [/mm] = [mm] (4-x)*e^{-1} [/mm] $


Nun ist mein Problem, dass egal wie ich es versuche aufzulösen, nie auf eine Form komme, in der nicht ln(x) oder $ [mm] e^x [/mm] $ steht, sodass ich nicht x bestimmen kann.

Vielleicht weiß hier jemand weiter :)



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gleichsetzen von E-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:24 Do 10.01.2008
Autor: Marcel

Hallo,

ja, die Aufgabe ist ein wenig knifflig. Nach dem Gleichsetzen gelangst Du dazu, dass Du die Gleichung
[mm] $x\left(e^{2-x}+1\right)-4=0$ [/mm]
zu lösen hast.
Setze nun [mm] $h(x):=x\left(e^{2-x}+1\right)-4$ [/mm] $(x [mm] \in \IR)$. [/mm] Die Lösungen der obigen Gleichung sind genau die Nullstellen von $h$.
Mit Stetigkeits- und Monotonieargumenten wirst Du Dir überlegen können, dass diese Funktion genau eine Nullstelle hat. Daher genügt's, wenn wir diese angeben:
Für $x=2$ gilt [mm] $2*\left(e^{2-2}+1\right)-4=2*2-4=0$, [/mm] d.h. die Stelle [mm] $x_0=2$ [/mm] ist die einzige Stelle, wo der Graph von $f$ den Graph von $g$ schneidet. Mit anderen Worten:
Der (einzige) Schnittpunkt ist hier gegeben durch den Punkt [mm] $P(2,f(2))=P(2,g(2))=P(2,2*e^{-1})=P(2,\frac{2}{e})$ [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Gleichsetzen von E-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:12 Di 15.01.2008
Autor: philo

Danke für die schnelle Antwort, hat so geklappt :)

Bezug
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