Gleichung->Lösung->Bogenmaß < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen sie im Bogenmaß alle Lösungen der Gleichung cos(2x)+cos(x)+1=0 im Intervall 0<=x<=2Pi |
hab da folgendes gemacht:
Hab mir rausgesucht, welches x (in grad) die gleichung löst und bin auf 90 grad gekommen.
diese umgerechnet in bogenmaß is 1/2 Pi.
Löst man so diese aufgabe oder geht das doch anders?
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Hallo haxenpeter!
Der Umweg über das Gradmaß ist nicht falsch ... aber ein Umweg.
Viel interessanter ist es doch, wie Du dieses "raussuchen" bewerkstelligt hast.
Ein möglicher Weg wäre die Anwendung des folgenden Additionstheorems:
[mm]\cos(2*x) \ = \ 2*\cos^2(x)-1[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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naja ich hab solch eine tabele wo alle funktionswerte winkelfunktionen drauf sind ( da hab ich mir einfach den passenden rausgesucht mit dem die gleichung aufgelöst wird), nur halt nicht in bogenmaß. dein weg versteh ich nicht ganz. ist meine lösung denn falsch? kannst du mir deine weg erklären?
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Hallo haxenpeter!
Dein Weg ist nicht grundsätzlich falsch. Aber ich bezweifle ganz stark, dass Du damit in einer Klausur/Prüfung volle Punktzahl erhalten wirst.
Was genau ist denn an meinem Tipp unklar? Setze doch mal ein und substituiere dann:
[mm]z \ := \ \cos(x)[/mm]
Damit hast Du dann eine quadratische Gleichung in [mm]z_[/mm] .
Gruß vom
Raodrunner
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nagut, aber ich komm noch nichteinmal hinter her wiedu von:
cos(2x)+cos(x)+1=0 auf
[mm] \cos(2\cdot{}x) [/mm] = [mm] 2\cdot{}\cos^2(x)-1 [/mm]
kommst?
Nagut ich hab hier Noch eine zweite aufgabe dazu, dort lautet die gleichung
[mm] 2sin(x)-\bruch{1}{sin(x)}=1
[/mm]
daraus hab ich gemacht:
[mm] 2sin(x)=1+\bruch{1}{sin(x)} [/mm]
2sin(x)*sin(x)=2
Dann wieder in meine Tabelle geschaut und auf 1/2Pi Bogenmaß gekommen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Mi 08.09.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo!
Warum, bitte, fängst Du dann eine neue Aufgabe an, wenn Du noch nicht mal die erste geklärt hast? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Zumal für neue Aufgaben auch ein neuer Thread zu eröffnen ist.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Mi 08.09.2010 | | Autor: | haxenpeter |
naja weil ich beide nebeneinander gerechnet habe und posten wollte wie ich das löse
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Hallo Tobi,
> nagut, aber ich komm noch nichteinmal hinter her wiedu
> von:
>
> cos(2x)+cos(x)+1=0 auf
> [mm]\cos(2\cdot{}x)[/mm] = [mm]2\cdot{}\cos^2(x)-1[/mm]
kommt er doch gar nicht, du kannst lediglich [mm]\cos(2x)[/mm] so umschreiben.
Schaue dir mal die Additionstheoreme an!
Es ist [mm]\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)[/mm]
Mithin [mm]\cos(2x)=\cos(x+x)=\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos^2(x)-(1-\cos^2(x))=2\cos^2(x)-1[/mm]
Schreibe das [mm]\cos(2x)[/mm] also entsprechend um und mache die o.g. Substitution
>
> kommst?
>
> Nagut ich hab hier Noch eine zweite aufgabe dazu, dort
> lautet die gleichung
> [mm]2sin(x)-\bruch{1}{sin(x)}=1[/mm]
>
> daraus hab ich gemacht:
>
> [mm]2sin(x)=1+\bruch{1}{sin(x)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2sin(x)*sin(x)=2
Was ist hier passiert?
Ich würde in der Ausgangsgleichung [mm]2\sin(x)-\frac{1}{\sin(x)}=1[/mm] substituieren [mm]z:=\sin(x)[/mm]
Dann hast du [mm]2z-\frac{1}{z}=1[/mm]
Nun alles mit [mm]z[/mm] durchmultiplizieren und du hast eine quadratische Gleichung in z, die du locker lösen kannst.
Am Ende dann resubstituieren.
>
> Dann wieder in meine Tabelle geschaut und auf 1/2Pi
> Bogenmaß gekommen.
>
>
LG
schachuzipus
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noch mal zu den beiden aufgeben:
zur 1.:
[mm] 2\cdot{}\cos^2(x)-1+\cos(x)+1=0
[/mm]
[mm] 2\cdot{}\cos^2(x)+\cos(x)=0 [/mm] //substitution [mm] \cos(x)=z
[/mm]
[mm] 2\z^{2}+z=0 [/mm] |:2
[mm] z^{2}+\bruch{1}{2}*z=0
[/mm]
pq-formel:
[mm] \z1=0
[/mm]
[mm] \z2=-\bruch{1}{2}
[/mm]
cos(x)1=0
[mm] cos(x)2=-\bruch{1}{2}
[/mm]
is das jetzt das ergebnis ? und auch in bogenmaß? oder muss ich es noch einmal umrechnen?
weil dann wäre das ja 1= 1/2 Pi
und 2= 6/9 Pi
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Hallo haxenpeter,
> noch mal zu den beiden aufgeben:
>
> zur 1.:
>
> [mm]2\cdot{}\cos^2(x)-1+\cos(x)+1=0[/mm]
> [mm]2\cdot{}\cos^2(x)+\cos(x)=0[/mm] //substitution [mm]\cos(x)=z[/mm]
> [mm]2\z^{2}+z=0[/mm] |:2
> [mm]z^{2}+\bruch{1}{2}*z=0[/mm]
>
> pq-formel:
>
> [mm]\z1=0[/mm]
> [mm]\z2=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> cos(x)1=0
> [mm]cos(x)2=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> is das jetzt das ergebnis ? und auch in bogenmaß? oder
> muss ich es noch einmal umrechnen?
>
> weil dann wäre das ja 1= 1/2 Pi
> und 2= 6/9 Pi
Nun, es gibt noch eine zweite Lösung die
[mm]\cos\left(x\right)=-\bruch{1}{2}[/mm] erfüllt.
Und vergiss nicht die Periodizität der Lösungen.
Es ist ja schliesslich nach allen Lösungen
in dem angegebenen Intervall gefragt.
Gruss
MathePower
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stimmt, die 240 grad. hab ich vergesen. nun aber noch mal. bus ich die ergebnise dann noch in dem bogenmaß angeben, wie ich es bei den beiden anderen gemacht habe also sprich 1/2Pi, 2/3Pi, 4/3Pi ?? und was meinst du mit der preriodizität? das muss mir nochmal wer erklären.
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Hallo haxenpeter,
> stimmt, die 240 grad. hab ich vergesen. nun aber noch mal.
> bus ich die ergebnise dann noch in dem bogenmaß angeben,
> wie ich es bei den beiden anderen gemacht habe also sprich
> 1/2Pi, 2/3Pi, 4/3Pi ?? und was meinst du mit der
Genau.
Die Ergebnisse sind im Bogenmass anzugeben.
> preriodizität? das muss mir nochmal wer erklären.
Nun der Cosinus hat die Periode [mm]2\pi[/mm]
Ist [mm]x_{0}[/mm] eine Lösung der Gleichung
[mm]\cos\left(x\right)=a, \ -1 \le a \le 1[/mm]
Dann löst auch
[mm]x_{0}+2\pi[/mm]
Allgemein gilt:
[mm]\cos\left(x\right)=a, \ -1 \le a \le 1[/mm]
hat die Lösungen [mm]x_{k}=x_{0}+2*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
Auf die Aufgabe bezogen heisst das, an welchen Stellen
der Cosinus im gegebenen Intervall den Wert 0 annimmt.
Gruss
MathePower
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ah ok, also schreib ich hinter jeder meiner lösungen +k*2Pi
aber beim sinus is dieser bereich doch der gleiche oder?
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Hallo haxenpeter,
> ah ok, also schreib ich hinter jeder meiner lösungen
> +k*2Pi
>
> aber beim sinus is dieser bereich doch der gleiche oder?
Ja, sofern es sich um [mm]\sin\left(x\right)[/mm] handelt.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Mi 08.09.2010 | | Autor: | abakus |
> ah ok, also schreib ich hinter jeder meiner lösungen
> +k*2Pi
>
> aber beim sinus is dieser bereich doch der gleiche oder?
Vergiss die Periodizität. In deiner Aufgabenstellung war der Bereich auf 0 bis [mm] 2\pi [/mm] eingeschränkt.
Gruß Abakus
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wie muss das denn jetzt für meine lösungsangabe aussehn?
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Hallo,
cos(2x)+cos(x)+1=0 hat die Lösungen [mm] x_1=\bruch{1}{2}\pi, x_2=\bruch{2}{3}\pi, x_3=\bruch{4}{3}\pi [/mm] und [mm] x_4=\bruch{3}{2}\pi
[/mm]
[mm] 2sin(x)-\bruch{1}{sin(x)}=1 [/mm] hat die Lösungen [mm] x_1=\bruch{1}{2}\pi, x_2=\bruch{7}{6}\pi [/mm] und [mm] x_3=\bruch{11}{6}\pi
[/mm]
Steffi
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