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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Di 19.09.2006 | | Autor: | santor |
Hallo,
kann mir jemand weiterhelfen, wie man die Gleichung: cos(3x)=sin(2x) lösen kann?
Die 2. lautet: cos(2x+1)=sin(3x)
3. sin(x)*cos(x)=0,5.
Bei diesen Gleichungen komme ich nicht weiter. Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Di 19.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo santor!
Ersetze zunächst aus [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ $\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{1-\sin^2(x)}$ [/mm] :
[mm] $\sin(x)*\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(x)*\wurzel{1-\sin^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Nun quadrieren und die entstehende biquadratische Gleichung lösen (z.B. durch die Substitution $t \ := \ [mm] \sin^2(x)$ [/mm] ).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Di 19.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo santor!
Es geht aber auch eleganter mit Additionstheorem [mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$ [/mm] .
[mm] $\Rightarrow$ $\sin(x)*\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Und das sollte ja schnell zu lösen sein, oder?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Di 19.09.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Loddar,
lange keinen Senf mehr zu Deinen Elaboraten geliefert!
Jetzt aber!
> Ersetze zunächst aus [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x) \ = \ 1[/mm] [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\cos(x) \ = \ \wurzel{1-\sin^2(x)}[/mm] :
Muss natürlich heißen:
cos(x) = [mm] \red{\pm}\wurzel{1 - sin^{2}(x)}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Di 19.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zwerglein!
Das hatte ich schon nicht ganz aus dem Kopf gestrichen... allerdings verschwindet das [mm] $\pm [/mm] ...$ auch schnell aus der Gleichung durch das (zugegebenermaßen nicht äquivalente!) Quadrieren der Gleichung.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Di 19.09.2006 | | Autor: | santor |
Danke, die 3. Gleichung konnte ich lösen. Weiß jemand bei den ersten beiden weiter? Vielleicht mann man elegant umformen und Additionstheoreme anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Di 19.09.2006 | | Autor: | jasko |
Aufgabe 1:
[mm]cos(3x)=sin(\pi/2-3x)[/mm]
[mm]\Rightarrow sin(\pi/2-3x)=sin(2x)[/mm]
[mm]\Rightarrow \pi/2-3x = 2x + 2k\pi , (k\in\IZ) [/mm]
[mm]\Rightarrow \pi/2-2k\pi=5x[/mm]
[mm]\Rightarrow x=\pi/10\cdot(1-4k)[/mm]
Dass sollte jetzt die Lösung sein!
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