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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 03.12.2006 | | Autor: | santor |
Kann mir jemand den mathematisch, korrekten Lösungsweg verraten? [mm] x^6=1.
[/mm]
Ziehen der 6. Wurzel ergibt 1 und -1. Aber wie kann ich das zerlegen und alle Lösungen, auch im Komplexen finden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo santor!
Für alle Lösungen im Komplexen [mm] $\IC$ [/mm] musst Du also berechnen: [mm] $x^6 [/mm] \ =\ 1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ =\ [mm] \wurzel[6]{1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[6]{1+0*i}$
[/mm]
Dafür verwendet man die ![[]](/images/popup.gif) Moivre-Formel :
[mm] $\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] z^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}*\left[\cos\left(\bruch{\varphi +k*2\pi}{n}\right)+i*\sin\left(\bruch{\varphi +k*2\pi}{n}\right)\right]$ [/mm] mit $k \ =\ 0 ... (n-1)$
Dabei gilt hier $r \ = \ [mm] \wurzel{1^2+0^2} [/mm] \ = \ 1$ und [mm] $\varphi [/mm] \ = \ 90° \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] :
[mm] $\wurzel[6]{1+0*i} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[6]{1}*\left[\cos\left(\bruch{\bruch{\pi}{2}+k*2\pi}{6}\right)+i*\sin\left(\bruch{\bruch{\pi}{2} +k*2\pi}{6}\right)\right]$ [/mm] mit $k \ =\ 0 ... 5$
Gruß
Loddar
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