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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Mo 19.02.2007 | | Autor: | santor |
hallo,
wie finde ich mathematisch, formal die Lösungen der Gleichung: [mm] x^4=2 [/mm] ?
Die Gleichung [mm] x^6=1 [/mm] müsste 6 Lösungen haben. Ich habe 1,-1,i und-i. Welche Lösungen gibt es denn noch und wie finde ich die? Man muss irgendwie zerlegen können.
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Hallo,
du könntest es mit einer Substitution versuchen:
[mm] z=x^2 \Rightarrow z^2=x^4
[/mm]
Also ist [mm] z^2=2 [/mm] zu lösen:
[mm] \Rightarrow z=\wurzel{2} \vee z=-\wurzel{2}
[/mm]
Rücksubstituieren:
[mm] x^2=\wurzel{2} \vee x^2=-\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=\wurzel{\wurzel{2}} \vee x=-\wurzel{\wurzel{2}} \vee x^2=i^2(\wurzel{\wurzel{2}})^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=\wurzel{\wurzel{2}} \vee x=-\wurzel{\wurzel{2}} \vee x=i\wurzel{\wurzel{2}} \vee x=-i\wurzel{\wurzel{2}}
[/mm]
alternativ kannst du das mit der trigonometrischen Darstellung lösen:
[mm] x^4=2 \Rightarrow |x^4|=|x|^4=|2|=2 \Rightarrow|x|=\wurzel[4]{2} [/mm] und [mm] arg(x^4)=arg(4)=0
[/mm]
Dann mit der Formel für die n-te Wurzel: [mm] x_k=|x|\left(cos(\bruch{1}{n}(arg(x)+2k\pi))+i\cdot{}sin(\bruch{1}{n}(arg(x)+2k\pi))\right) [/mm] für k=0,1,...,n-1 [hier: n=4]
Gruß
schachuzipus
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