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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Mi 18.02.2009 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Loesungen der Gleichung [mm] z^4 [/mm] + 16 = 0. Skizzieren Sie die Loesungen in der Gaussschen Zahlenebene. |
Na ja, ich weiss nicht ,ob ich das gut mache... Meine Loesungen:
z(0) = 2(i)^(1/2)
z(1) = 2(i)^(1/2)e^(i[tex] \pi[/tex]/2)
z(2) = 2(i)^(1/2)e^(i[tex] \pi[/tex])
z(3) = 2(i)^(1/2)e^(i3[tex] \pi[/tex]/2)
Ich habe allgemiene Loesung gezutzt: Wenn [mm] z^n [/mm] = re^(i[tex] \alpha[/tex]), dann
z = r^(1/n)e^(i([tex] \alpha[/tex]/n + 2[tex] \pi[/tex]k/n)), wo
k = 0,1,...,n-1
Und wie kann ich das skizzieren?
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dir scheint da schon ein Fehler unterlaufen zu sein. Die Längen und Winkel stimmen nicht. Zeig mal deine Rechnung ausführlich.
Zum Einzeichnen: [mm] z=re^{i\phi} [/mm]
r gibt ja die Länge an und phi der Winkel. Alle Lösungen haben die Gleiche Länge. Also kannst du dann ein Kreis um den Ursprung mit dem Radius r einzeichnen und darauf deine Lösungen mit den entsprechenden Winkeln markieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mi 18.02.2009 | | Autor: | waruna |
Also ich mache das so:
[mm] z^4 [/mm] = [mm] -2^4 [/mm] = -16e^(i*0) => r = -16 = 16 [mm] i^2
[/mm]
[tex]\alpha[/tex] = 0
und ich setze das in dieser allgemeinen Loesung.
Ich weiss aber nicht warum r kleiner Null ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also ich mache das so:
Besser nicht !!!
> [mm]z^4[/mm] = [mm]-2^4[/mm] = -16e^(i*0) => r = -16 = 16 [mm]i^2[/mm]
> [tex]\alpha[/tex] = 0
> und ich setze das in dieser allgemeinen Loesung.
> Ich weiss aber nicht warum r kleiner Null ist?
Es ist -16 = [mm] 16e^{i \pi}
[/mm]
Hilft das ??
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Mi 18.02.2009 | | Autor: | waruna |
Ja, jetzt ist alles klar, danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Mi 18.02.2009 | | Autor: | ms2008de |
hallo,
was ich mich frage ist, wo bei deinen lösungen z= (-2)*i^(1/2) steht?
viele grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Mi 18.02.2009 | | Autor: | ms2008de |
ah, hat sich erledigt, e^(i*pi) ist ja schließlich -1, sorry
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Hallo waruna,
vergleiche Deine Lösung mal mit der Moivre-Formel.
Außerdem ist [mm] i^{\bruch{1}{2}}=\wurzel{i}=\bruch{1}{2}\wurzel{2}(1+i).
[/mm]
Zur Kontrolle: mit Anwendung dieser Formeln - oder mit ein wenig Überlegung - kommst Du dann auf die vier Lösungen
[mm] z=\wurzel{2}{(\pm1 \pm i)}
[/mm]
Grüße,
reverend
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