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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Mo 25.05.2009 | | Autor: | idonnow |
| Aufgabe | Geben Sie alle drei Lösungen der Gleichung [mm] z^3 [/mm] = 1 an. Wählen Sie zwei dieser
Lösungen aus und machen Sie für diese die Probe, d.h. berechnen Sie deren
dritte Potenz.
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Hallo!
Bei der oben genannten Aufgabe komme ich nur soweit, dass ich [mm] z^3-1=0 [/mm] schreiben kann!
Wie geht es weiter oder ist der Ansatz schon falsch?
lg
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Hallo idonnow,
> Geben Sie alle drei Lösungen der Gleichung [mm]z^3[/mm] = 1 an.
> Wählen Sie zwei dieser
> Lösungen aus und machen Sie für diese die Probe, d.h.
> berechnen Sie deren
> dritte Potenz.
>
> Hallo!
>
> Bei der oben genannten Aufgabe komme ich nur soweit, dass
> ich [mm]z^3-1=0[/mm] schreiben kann!
> Wie geht es weiter oder ist der Ansatz schon falsch?
Der Ansatz ist goldrichtig.
Nun, eine Lösung siehst Du sofort, nämlich z=1.
Jetzt kannst eine Polynomdivision durchführen, um auf die weiteren Lösungen zu kommen.
>
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mo 25.05.2009 | | Autor: | idonnow |
Hi Ihr lieben!
Ich habe zur Lösung oben genannten Aufgabe eine Polynomdivision durchgeführt. Ich bin auf das Ergebnis [mm] z^{2}+z+1 [/mm] gekommen, welche ich mit der PQ-Formel weiter berechne. Ist das Ergebnis richtig?
lg
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Hallo idonnow,
> siehe vorherige
> Hi Ihr lieben!
>
> Ich habe zur Lösung oben genannten Aufgabe eine
> Polynomdivision durchgeführt. Ich bin auf das Ergebnis
> [mm]z^{2}+z+1[/mm] gekommen, welche ich mit der PQ-Formel weiter
> berechne. Ist das Ergebnis richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, ist es, habe ein bisschen mehr Vertrauen in deine Rechenkünste, rechne einfach mal zuende ...
>
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:54 Mo 25.05.2009 | | Autor: | idonnow |
Anhand der PQ-Formel komme ich auf keine Lösung!
Könntet Ihr mir einen Tipp geben?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
Warum so schnell aufgeben? Dann rechne mal vor, wie weit Du mit der  p/q-Formel kommst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mo 25.05.2009 | | Autor: | idonnow |
PQ-Formel
[mm] z^{2}+z+1=0
[/mm]
z1,2= [mm] \left( \bruch{1}{2} \right) [/mm] +/- [mm] \wurzel{1/2}^{2}-1 [/mm]
Also bekomme ich doch eine negative Zahl unter der Wurzel..so kann ich doch nicht weiter rechnen????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
Nun überlege mal: was ist das Besondere an den komplexen Zahlen?
Genau: man kann aus negativen Zahlen die Wurzel ziehen, da gilt:
[mm] $$\wurzel{-1} [/mm] \ =: \ i$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mo 25.05.2009 | | Autor: | idonnow |
Hallo!
Wie sieht dann die Wurzel aus [mm] \wurzel{1/2}i [/mm] oder wie?
und wie soll man denn weiter rechnen. Im Normalfall würde ja unter meiner Wurzel -0,75 stehen.
lg
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Hallo nochmal,
> Hallo!
>
> Wie sieht dann die Wurzel aus [mm]\wurzel{1/2}i[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") oder wie?
> und wie soll man denn weiter rechnen. Im Normalfall würde
> ja unter meiner Wurzel -0,75 stehen.
Eben, du hast [mm] $\pm\sqrt{-\frac{3}{4}}=\pm\frac{\sqrt{-3}}{\sqrt{4}}=\pm\frac{\sqrt{-3}}{2}=\pm\frac{i}{2}\cdot{}\sqrt{3}$
[/mm]
>
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 25.05.2009 | | Autor: | idonnow |
1/2+/- [mm] \pm\frac{i}{2}\cdot{}\sqrt{3} [/mm] $. Wie kann ich denn jetzt weiter rechnen?
i/2 kann ich ja nicht mehr umformen? Ich habe wirklich keine Ahnung!
lg
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Hallo nochmal,
> 1/2+/- [mm]\pm\frac{i}{2}\cdot{}\sqrt{3}[/mm] $. Wie kann ich denn
> jetzt weiter rechnen?
Nochmal, das muss am Anfang [mm] $\red{-}\frac{1}{2}\pm [/mm] ...$ heißen.
> i/2 kann ich ja nicht mehr umformen?
Da gibt's nix mehr umzuformen ...
> Ich habe wirklich keine Ahnung!
Neben der ersten Lösung [mm] $z_1=1$ [/mm] sind die anderen beiden Lösungen komplex.
[mm] $z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot{}i$
[/mm]
[mm] $z_3=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot{}i$
[/mm]
>
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Mo 25.05.2009 | | Autor: | idonnow |
UPS! Achso Danke nochmals! Ich bin halt kein Mathegenie!
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Hallo nochmal,
> PQ-Formel
>
> [mm]z^{2}+z+1=0[/mm]
>
> z1,2= [mm]\left( \bruch{1}{2} \right)[/mm] +/- [mm]\wurzel{1/2}^{2}-1[/mm]
Hmm, das muss doch eher [mm] $z_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2-1}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{-\frac{3}{4}}=-\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$ [/mm] lauten ...
Weiter mit Loddars Hinweis
>
> Also bekomme ich doch eine negative Zahl unter der
> Wurzel..so kann ich doch nicht weiter rechnen????
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
Nicht so elegant wie MathePower's Lösung, aber sie führt auch zum Ziel:
die Moivre-Formel.
Gruß
Loddar
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