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Hab gleich noch eine Frage! Diese Vektoren sind gegeben:
[mm] ({\vektor{ 1 \\ 2 \\ 0 },\vektor{ 1 \\ 0 \\ -1 },\vektor{ 1 \\ 1 \\ -1 }})
[/mm]
Nun soll ich zeigen, dass durch [mm] (1,x,1-x^{2}) [/mm] eine Basis von [mm] \produkt2 [/mm] gegeben ist, und stellen Sie das Polynom p [mm] \in \produkt2
[/mm]
mit p(x) = [mm] x^{2} [/mm] als Linearkombination dieser Basisvektoren dar.
Ich bekomme heraus [mm] 0=\lambda1+x\lambda2+\lambda3+x^{2}\lambda3
[/mm]
Wie bekomme ich den jetzt heraus, ob sie linear unabhängig sind?
Anika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hab gleich noch eine Frage! Diese Vektoren sind gegeben:
>
> [mm]({\vektor{ 1 \\ 2 \\ 0 },\vektor{ 1 \\ 0 \\ -1 },\vektor{ 1 \\ 1 \\ -1 }})[/mm]
>
> Nun soll ich zeigen, dass durch [mm](1,x,1-x^{2})[/mm] eine Basis
> von [mm]\produkt2[/mm] gegeben ist, und stellen Sie das Polynom p
> [mm]\in \produkt2[/mm]
> mit p(x) = [mm]x^{2}[/mm] als Linearkombination
> dieser Basisvektoren dar.
>
> Ich bekomme heraus
> [mm]0=\lambda1+x\lambda2+\lambda3+x^{2}\lambda3[/mm]
> Wie bekomme ich den jetzt heraus, ob sie linear
> unabhängig sind?
Du hast: [mm]0=\lambda_1+x\lambda_2+\lambda_3+\lambda_3x^{2}[/mm] für jedes x [mm] \in \IR
[/mm]
Folgere hieraus: [mm] \lambda_1= \lambda_2= \lambda_3 [/mm] = 0
FRED
> Anika
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> Du hast: [mm]0=\lambda_1+x\lambda_2+\lambda_3+\lambda_3x^{2}[/mm]
> für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Folgere hieraus: [mm]\lambda_1= \lambda_2= \lambda_3[/mm] = 0
Wenn ich für jedes x jetzt 0 einsetze, hab ich dann nicht [mm] \lambda1=-\lambda3
[/mm]
Anika
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Hallo AnikaBrandes,
> > Du hast: [mm]0=\lambda_1+x\lambda_2+\lambda_3+\lambda_3x^{2}[/mm]
Das muss doch hier lauten:
[mm]0=\lambda_1+x\lambda_2+\lambda_3\blue{-}\lambda_3x^{2}[/mm]
> > für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
> >
> > Folgere hieraus: [mm]\lambda_1= \lambda_2= \lambda_3[/mm] = 0
>
> Wenn ich für jedes x jetzt 0 einsetze, hab ich dann nicht
> [mm]\lambda1=-\lambda3[/mm]
Das mußt Du hier schon allgemein machen.
Sortiere obige Gleichung nach x-Potenzen.
Führe dies also auf die Darstellung [mm]\alpha*1+\beta*x+\gamma*x^{2}[/mm] zurück.
Und dann wirst Du sicherlich wissen,
wann ein Polynom das Nullpolynom ist.
> Anika
Gruss
MathePower
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