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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mi 07.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Gleichung nach z auf:
[mm] -\bruch{z-3}{4-2z}=\bruch{27z-56}{z^{3}-2z^{2}} [/mm] |
Guten Abend,
folgende Gleichung beschäftigt mich gerade. Muss auf eine quadratische Gleichung kommen. Es gibt einen "Trick", den ich nicht sehe.
[mm] -\bruch{z-3}{4-2z}=\bruch{27z-56}{z^{3}-2z^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{27z-56}{z^{3}-2z^{2}}+\bruch{z-3}{4-2z}=0
[/mm]
[mm] \bruch{(27z-56)(4-2z)}{-2z^{4}+8z^{3}-8z^{2}}+\bruch{(z-3)(z^{3}-2z^{2})}{-2z^{4}+8z^{3}-8z^{2}}=0
[/mm]
[mm] \bruch{108z-54z^{2}-224+112z}{-2z^{4}+8z^{3}-8z^{2}}+\bruch{z^{4}-2z^{3}-3z^{3}+6z^{2}}{-2z^{4}+8z^{3}-8z^{2}}=0
[/mm]
[mm] \bruch{z^{4}-5z^{3}-48z^{2}+220z-224}{-2z^{4}+8z^{3}-8z^{2}}=0
[/mm]
[mm] z^{4}-5z^{3}-48z^{2}+220z-224=0
[/mm]
Hier muss ein Fehler vorliegen! Könnt Ihr bitte mal schauen, ob Ihr Ihn seht!
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo,
zunächst mal: deine Rechnung ist bis zu der Stelle, an der es stockt, richtig.
Solche Gleichungen sind ja wirklich immer etwas fies, man sollte ja eigentlich schon wissen, dass die Lösungen ganzzahlig sind. Wenn ich ehrlich bin, ich habe sie erstmal ins CAS reingehauen.
Das nun brachte mich auf die Idee, irgendwie [mm] (x-2)^2=x^2-4x+4 [/mm] abszuspalten:
Und siehe da:
[mm] z^4-5z^3-48z^2+220z-224
[/mm]
[mm] =z^4-4z^3+4z^2-z^3-52z^2+220z-224
[/mm]
[mm] =z^2*(z-2)^2-z^3+4z^2-4z-56z^2+224z-224
[/mm]
[mm] =z^2*(z-2)^2-z*(z-2)^2-56*(z-2)^2
[/mm]
[mm] =(z^2-z-56)*(z-2)^2
[/mm]
und daraus gewinnt man vier reelle Lösungen.
Aber ganz ehrlich: da wäre ich ohne elektronische Helfer auch nicht so schnell draufgekommen. 
Gruß, Diophant
PS: Wie stehts mit den Partialbrüchen? 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Mi 07.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Abend,
danke, dass Du Dir die Mühe gemacht hast. Oh man, wie soll ich denn in der Klausur darauf kommen. Das war nur ne Probeklausur.
Partialbrüche laufen. Nur die komplexe Variante klär am Freitag nochmal ab.
Tolles Forum, hilft unglaublich.
Gruß
mbau16
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo mbau16,
noch ein Tipp auf die Schnelle:
wenn in einer algebraischen Gleichung sämtliche Koeffizienten ganz sind, dann kann man alle Teiler des Absolutgliedes als Lösungen ausprobieren. Hier ist
[mm] 224=2^5*7
[/mm]
Da stecken natürlich auch Möglichkeiten drin, die keine Lösungen der Gleichung sind. Aber wenn man mal klein anfängt, dann hat man [mm] z_1=2, [/mm] die 4 geht nicht, mit [mm] z_2=-7 [/mm] dann schon die nächste Lösung und dann ist das Polynom ja auch schon nur noch quadratisch. Das soll dann wohl in der Klausur so gemacht werden; ich war grade auch zu faul dazu.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mi 07.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo!
Nochmal eine Frage!
> noch ein Tipp auf die Schnelle:
>
> wenn in einer algebraischen Gleichung sämtliche
> Koeffizienten ganz sind, dann kann man alle Teiler des
> Absolutgliedes als Lösungen ausprobieren. Hier ist
>
> [mm]224=2^5*7[/mm]
>
> Da stecken natürlich auch Möglichkeiten drin, die keine
> Lösungen der Gleichung sind. Aber wenn man mal klein
> anfängt, dann hat man [mm]z_1=2,[/mm] die 4 geht nicht, mit [mm]z_2=7[/mm]
> dann schon die nächste Lösung und dann ist das Polynom ja
> auch schon nur noch quadratisch. Das soll dann wohl in der
> Klausur so gemacht werden; ich war grade auch zu faul dazu.
>
Das hört sich gut an, klingt auf jeden Fall deutlich einfacher für mich. Könntest Du das mal bitte bis zur quadratischen Gleichung vormachen? So ganz hab ich das noch nicht verstanden.
Was mach ich dann mit [mm] 224=2^5*7?
[/mm]
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo, du hast
[mm] 0=z^4-5z^3-48z^2+220z-224
[/mm]
durch "erraten" hast du [mm] z_1=2
[/mm]
[mm] (z^4-5z^3-48z^2+220z-224):(z-2)=z^3-3z^2-54z+112
[/mm]
durch "erraten" hast du [mm] z_2=-7
[/mm]
[mm] (z^3-3z^2-54z+112):(z+7)=z^2-10z+16
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Do 08.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Morgen, nochmal eine Frage zu diesem thread.
> Hallo, du hast
>
> [mm]0=z^4-5z^3-48z^2+220z-224[/mm]
>
> durch "erraten" hast du [mm]z_1=2[/mm]
>
> [mm](z^4-5z^3-48z^2+220z-224):(z-2)=z^3-3z^2-54z+112[/mm]
>
> durch "erraten" hast du [mm]z_2=-7[/mm]
>
> [mm](z^3-3z^2-54z+112):(z+7)=z^2-10z+16[/mm]
>
> Steffi
Das Absolutglied ist 224. Also [mm] 2^{5}*7. [/mm] Aber was bringt mir das in Bezug auf die Vorgehensweise in diesem thread?
Vielleicht wisst Ihr mehr.
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo,
das sog. ![[]](/images/popup.gif) Lemma von Gauß sagt uns im Prinzip, dass jede ganzzahlige Nullstelle eines ganzzahligen, normierten Polynoms das Absolutglied teilt.
Ganzzahlig heißt für ein Polynom - wie schon gesagt - dass seine Koeefizienten aus [mm] \IZ [/mm] sind. Normiert bedeutet hier, dass der Koeffizient der höchsten Potenz gleich 1 ist.
Beide Kriterien werden von deiner Gleichung erfüllt. Von daher müssen alle ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung die Zahl 224 teilen. Da deren Primfaktorzewrlegung glücklicherweise nur aus zwei Primzahlpotenzen besteht, kann man die möglichen Kandidaten in endlicher Zeit durchprobieren.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Do 08.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
Danke nochmal für die gute und schnelle Hilfe!
Gruß
mbau16
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Do 08.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
noch ein Nachtrag: die ursprüngliche Gleichung ist eine Bruchgleichung. Sie enthält in jedem Nenner jeweils einmal die Nullstelle x=2.
Die Doppellösung [mm] x_{1,2}=2 [/mm] kam malso erst durch die Multiplikation mit den beiden Nennern hinzu und die Lösungsmenge für die ursprüngliche Gleichung lautet:
[mm] \IL=[/mm] [mm]\left \{ -7;8 \right \}[/mm]
Wir hätten undere Betrachtung damit beginnen sollen, eine Definitionsmenge für die Bruchgleichung auszustellen, nämlich
[mm] D=\IR\setminus\left\{2\right\}
[/mm]
Beachte das unbedingt in der Klausur! Ich habe es ehrlich gesagt auch vergessen dazuzusagen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Do 08.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
Danke für den Tipp!
Ich werde es beachten.
Gruß
mbau16
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