Gleichung: Definitionsbereich < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Do 12.08.2010 | | Autor: | begker |
| Aufgabe | Geben Sie den Definitionsbereich und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an:
(x-2):(x²-4)=0 |
Als Lösung kommt prinzipiell ja x=2 in Frage. Dann ist die Gleichung aufgrund des Teilens durch Null allerdings nicht lösbar. Also müsste doch die Lösungsmenge leer sein, oder?
Und was soll denn bei einer Gleichung der Definitionsbereich sein? Der Def.bereich ist doch eigentlich die Menge der einsetzbaren Definitionswerte einer Funktion. Bei einer Gleichung spricht man doch eigentlich nur von Lösungsmengen, oder?
Ich danke euch,
beste Grüße,
begker
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Hallo bekger,
> Geben Sie den Definitionsbereich und die Lösungsmenge der
> folgenden Gleichung an:
> (x-2):(x²-4)=0
> Als Lösung kommt prinzipiell ja x=2 in Frage. Dann ist
> die Gleichung aufgrund des Teilens durch Null allerdings
> nicht lösbar. Also müsste doch die Lösungsmenge leer
> sein, oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ganz genau!
> Und was soll denn bei einer Gleichung der
> Definitionsbereich sein? Der Def.bereich ist doch
> eigentlich die Menge der einsetzbaren Definitionswerte
> einer Funktion. Bei einer Gleichung spricht man doch
> eigentlich nur von Lösungsmengen, oder?
Naja, die Lösungsmenge ist halt die Menge derjenigen [mm] $x\in\IR$, [/mm] welche bei Einsetzen in die Gleichung zu einer wahren Aussage führen.
Der Definitionsbereich ist die Menge aller [mm] $x\in\IR$, [/mm] für die die Gleichung überhaupt definiert ist.
Hier hast du linkerhand einen Bruch [mm] $\frac{x-2}{x^2-4}$
[/mm]
Ein Bruch ist nur definiert, falls der Nenner [mm] $\neq [/mm] 0$ ist.
Also [mm] $x^2-4=0\gdw [/mm] x=2 \ [mm] \text{oder} [/mm] \ x=-2$
Dh. für [mm] $x=\pm [/mm] 2$ hast du überhaupt keinen wohldefinierten Ausdruck da stehen, denn du würdest durch 0 teilen.
Also ist der Definitionsbereich [mm] $\IR\setminus\{-2,2\}$
[/mm]
Du darfst also alle reellen Zahlen [mm] $\neq\pm [/mm] 2$ einsetzen.
Damit kannst du dich daran machen, die Gleichung zu lösen.
Also einzige Lösung kommt infrage: $x=2$
Das liegt aber nicht im Definitionsbereich, daher liegst du mit deiner Vermutung oben richtig und die Lösungsmenge ist die leere Menge [mm] $\emptyset$
[/mm]
> Ich danke euch,
> beste Grüße,
> begker
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Do 12.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Geben Sie den Definitionsbereich und die Lösungsmenge der
> folgenden Gleichung an:
> (x-2):(x²-4)=0
> Als Lösung kommt prinzipiell ja x=2 in Frage. Dann ist
> die Gleichung aufgrund des Teilens durch Null allerdings
> nicht lösbar. Also müsste doch die Lösungsmenge leer
> sein, oder?
> Und was soll denn bei einer Gleichung der
> Definitionsbereich sein? Der Def.bereich ist doch
> eigentlich die Menge der einsetzbaren Definitionswerte
> einer Funktion. Bei einer Gleichung spricht man doch
> eigentlich nur von Lösungsmengen, oder?
> Ich danke euch,
> beste Grüße,
> begker
Es handelt sich beim Lösen einer Gleichung wie z.B. f(x)=g(x), um die explizite Angabe der Menge [mm] L=\{x:f(x)=g(x)\}. [/mm] Damit das wohldefiniert ist, muss man noch angeben in welcher Obermenge, die Elemente zu suchen sind und da bietet sich natürlich der Definitionsbereich der vorkommenden Funktionsterme an:
[mm] L=\{x\in D_f\cap D_g:f(x)=g(x)\}.
[/mm]
LG
gfm
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