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Gleichung Diophantos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Di 05.06.2007
Autor: lisi96

hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hoffe ich habe hier das richtige Forum gewählt.

gegeben: 5x+13y=9 löse diese Gleichung nach Diophantos.

ich habe so angefangt:
13/5=2 Rest3
5/3=1 Rest 2
3/2=1 Rest 1
2/1=2 Rest 0

deshalb ist 1 der ggT von 13 und 5!

wenn ich jetzt in den erweiterten Algorithmus einsetze taucht schon die erste Frage auf:
also ich schreibe:

        2   1     1     2
10    1    1     2    5
01    2    3     5    13

hoffe man kann es nachvollziehen, jetzt muss man doch rechnen 2*13= 26 und 5*5=25, deshalb: -5

nur wie setze ich jetzt ein?
5 (-5) + 13 (2)    warum für x=-5 und für y=2, warum nicht umgekehrt?

hoffe man keine Vorlage entziffern. Antwort bitte für Matheidiot

        
Bezug
Gleichung Diophantos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Di 05.06.2007
Autor: statler

Hey!

> gegeben: 5x+13y=9 löse diese Gleichung nach Diophantos.
>  
> ich habe so angefangt:
>  13/5=2 Rest3
>  5/3=1 Rest 2
>  3/2=1 Rest 1
>  2/1=2 Rest 0
>  
> deshalb ist 1 der ggT von 13 und 5!

Genau!

> wenn ich jetzt in den erweiterten Algorithmus einsetze
> taucht schon die erste Frage auf:
>  also ich schreibe:
>  
> 2   1     1     2
>  10    1    1     2    5
>  01    2    3     5    13

Das Schema kenne ich so nicht. Ich rechne einfach den Euklidischen Algorithmus rückwärts:
1 = 3 - 1*2 = 3 - (5 - 1*3) = 2*3 - 5 = 2*(13 - 2*5) - 5 = 2*13 - 5*5
Da steht's!
Für deine Aufgabe mußt du das jetzt natürlich noch auf 9 bringen.

Gruß aus HH_Harburg
Dieter


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Gleichung Diophantos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Di 05.06.2007
Autor: lisi96

dankeschön, jetzt hab ich dann stehen:

5*(-5)+13*(2)=1      *9
5*(-45)+13*(18)=9

frage: wieso rechne ich nur die Klammer *9 ?


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Gleichung Diophantos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Di 05.06.2007
Autor: schachuzipus

Hallo lisi,

> dankeschön, jetzt hab ich dann stehen:
>  
> 5*(-5)+13*(2)=1      *9
>  5*(-45)+13*(18)=9 [ok]
>  
> frage: wieso rechne ich nur die Klammer *9 ?
>  

Na, weil deine Ausgangsgleichung doch $5x+13y=9$ ist und du

eine [mm] \underline{spezielle} [/mm] Lösung brauchst, die du mit dem

Tupel [mm] $(x_0,y_0)=(-45,18)$ [/mm] so gefunden hast.

Hieraus kannst du nun die allg. Lösung konstruieren.

Weißt du, wie? Ansonsten frag nochmal nach ;-)

LG

schachuzipus

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Gleichung Diophantos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Mi 06.06.2007
Autor: lisi96

danke ist mir schon klarer geworden, also habe ich jetzt:
5*(-45) + 13*(18)=9

dann muss ich einsetzen:

5*(-45+13t) + 13*(18-5t) =

frage: warum muss ich bei -45 noch +13t rechnen und bei 18 noch -5t dazu? Das verstehe ich nicht ganz

x= -45+13t
y= 18-5t

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Gleichung Diophantos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Mi 06.06.2007
Autor: statler

Hi!

> danke ist mir schon klarer geworden, also habe ich jetzt:
>  5*(-45) + 13*(18)=9

Außerdem hast du für alle ganzen Zahlen t die Gleichung
5*13t - 13*5t = 0
Wenn du diese beiden Gln addierst und ausklammerst, erhältst du ..

> dann muss ich einsetzen:
>  
> 5*(-45+13t) + 13*(18-5t) = 9

... diese Gleichung!

> frage: warum muss ich bei -45 noch +13t rechnen und bei 18
> noch -5t dazu? Das verstehe ich nicht ganz

Immer noch nicht?

Gruß
Dieter


Bezug
                                                
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Gleichung Diophantos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 Mi 06.06.2007
Autor: lisi96

Sorry nicht wirklich,

wie soll ich 5*13t-13*5t=0    addieren und ausklammern?
muss sagen die diophantische Gleichung ist überhaupt nicht mein Gebiet.

Bezug
                                                        
Bezug
Gleichung Diophantos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Mi 06.06.2007
Autor: statler


> wie soll ich 5*13t-13*5t=0    addieren und ausklammern?

Bei Gleichungen addiert man die linken Seiten und die rechten Seiten. Links entsteht eine neue linke Seite mit 4 Termen, und rechts steht 9 + 0.
Anschließend kann man die linke Seite durch Ausklammern noch etwas einfacher gestalten.

>  muss sagen die diophantische Gleichung ist überhaupt nicht
> mein Gebiet.

Was du hier machst, ist auch ohne Spezialisierung zu wuppen.

Gruß
Dieter


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Gleichung Diophantos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Mi 06.06.2007
Autor: lisi96

soll das etwa so funktionieren:
ich nehme die Gleichung, die gleich null ist und addiere sie mit der Ausgangsgleichung, in der bereits x und y einen Wert erhalten haben?

5*13t - 13*5t=0
5*(-45) + 13*(+18)=9

zusammengefasst:

5*(13t-45) - 13*(5t-18)=9

hoffe es stimmt so, danke für deine Geduld



Bezug
                                                                        
Bezug
Gleichung Diophantos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Mi 06.06.2007
Autor: statler


> soll das etwa so funktionieren:
>  ich nehme die Gleichung, die gleich null ist und addiere
> sie mit der Ausgangsgleichung, in der bereits x und y einen
> Wert erhalten haben?
>  
> 5*13t - 13*5t=0
>  5*(-45) + 13*(+18)=9
>  
> zusammengefasst:
>  
> 5*(13t-45) - 13*(5t-18)=9
>  
> hoffe es stimmt so, danke für deine Geduld

So hatte ich mir das gedacht, ist da irgendwas schwer?

Ciao
Dieter


>  
>  


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Gleichung Diophantos: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:50 Mi 06.06.2007
Autor: lisi96

Nein, mit deinen Angaben war es wirklich nicht so schwer. Dann sag ich dankeschön für die guten Tipps und wünsche dir noch einen schönen Abend. Vielleicht bis bald mal! liebe grüße lisi

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