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Hallo,
ich soll alle Natürlichen Zahlen mit
[mm] n^2 [/mm] < [mm] 2^n
[/mm]
bestimmen. Mein Ansatz war nun über die Lösung der Gleichung
[mm] n^2 [/mm] = [mm] 2^n
[/mm]
die Schnittpunkte zu bestimmen. Man sieht ja recht leicht dass für n=2 und n=4 die Gleichung stimmt und die Lösung somit n=1 und n>=5 ist. Aber eine richtige Rechnung, die dafür erforderlich ist, hab ich nicht hinbekommen.
Kann mir jemand sagen wie man die Gleichung löst oder vl einen anderen Ansatz geben.
Danke
Germaican
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Sa 28.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der Ansatz ist korrekt.
[mm] n²=2^{n}. [/mm] Wenn du jetzt den [mm] log_{2} [/mm] "draufwirfst" erhälst du:
[mm] log_{2}n²=n
[/mm]
Ein wenig Herumspielen mit den ![[]](/images/popup.gif) Logarithmengesetzen ergibt:
[mm] 2log_{2}n=n
[/mm]
[mm] \gdw log_{2}n=\bruch{n}{2} [/mm] |²
[mm] \gdw n=\bruch{n²}{4}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n²}{4}-n=0
[/mm]
[mm] \gdw n(\bruch{n}{4}-1)=0
[/mm]
Ich hoffe mal, dass ich keine Rechenfehler gemacht habe.
Nun klarer?
Marius
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erstmal danke für die schnelle antwort....aber am ende wäre bei dir ja 0 und 4 lösung eine lösung... also kann es nicht ganz korrekt sein. daneben verstehe ich den schritt nicht, bei dem du quadrierst
gruß germaican
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> daneben verstehe ich den schritt nicht,
> bei dem du quadrierst
Ich auch nicht. Bzw das ist falsch!
Allerdings sehe ich auch nicht, wie man da auf eine Lösung kommt.
Ich würde einfach hingehen und sagen, daß ich aufgrund des Wissens, wie die Funktionen [mm] x^2 [/mm] und [mm] 2^x [/mm] aussehen, ein oder zwei Schnittpunkte vermute - ein wenig rumspielen liefert dann 2 und 4.
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das war anfangs ja auch mein erster gedanke. aber für einen mathematischen Beweis ist das einfach zu dünn. Bräuchte ne Lösung die mathematisch Einwandfrei ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 So 29.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
selbst wenn du ne Lösung der Gleichung exakt hast beweist das ja nix!
ich denke du musst die Fälle 1,2,3,4 einzeln rechnen, und dann durch vollständige Induktion für n [mm] \ge [/mm] 5 die Ungleichung beweisen:
Gruss leduart
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hab mal die induktion gemacht....wenn ich [mm] 2^{n+1} [/mm] umforme krieg ich irgendwann [mm] (n+1)^2 +n^2 [/mm] -2n -1 raus...also muss ich dann noch zeigen dass
[mm] n^2 [/mm] -2n -1 > 0 ist. Wie mach ich das denn genau? wenn ich die gleichung löse bekomme ich 1 +- [mm] \wurzel{2} [/mm] raus. aber was fang ich damit an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 So 29.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Germaican!
> ...also muss ich dann noch zeigen dass [mm]n^2[/mm] -2n -1 > 0 ist.
Formen wir mal um:
[mm] $n^2-2*n-1 [/mm] \ = \ [mm] n^2-2*n-1+2-2 [/mm] \ = \ [mm] n^2-2*n+1-2 [/mm] \ = \ [mm] (n-1)^2-2 [/mm] \ > \ 0$
[mm] $\gdw$ $(n-1)^2 [/mm] \ > \ 2$
Und das ist für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 5$ mit [mm] $4^2 [/mm] \ = \ 16 \ > \ 2$ sowie der Monotonie der Quadratfunktion offensichtlich.
Man könnte diese Ungleichung [mm] $(n-1)^2 [/mm] \ > ß 2$ natürlich auch wieder mittels vollständiger Induktion nachweisen.
Gruß
Loddar
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