Gleichung auflösen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Benko |
| Aufgabe | | Welche Lösungen besitzt die Gleichung: |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe versucht mit Hilfe von Additionstheoremen die Aufgabe zu lösen und komme nich weiter, gibts vll. eine Mgl. durch Substituion? Wie kann man diese Glg. auflösen?
Gleichung: [mm] \bruch{2cot2x}{1-3cotx}=1/2
[/mm]
Hinweis: [mm] cot2x=\bruch{cot^2x-1}{2cotx}
[/mm]
[mm] cotx=\bruch{cosx}{sinx}
[/mm]
Mein Weg:
1.umstellen
[mm] 2cot2x=\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}cotx
[/mm]
2.umstellen..
[mm] cot2x=\bruch{1}{4}-\bruch{3}{4}cotx
[/mm]
3.ersetzen
[mm] \bruch{cot^2x-1}{2cotx}=\bruch{1}{4}-\bruch{3}{4}cotx
[/mm]
3. umstellen
[mm] cot^2x-1=\bruch{1}{2}cotx-\bruch{3}{2}cot^2x
[/mm]
4.zusammenfassen
[mm] \bruch{5}{2}cot^2x-\bruch{1}{2}cotx-1=0
[/mm]
und an der stelle komm ich nich mehr weiter, egal was ich mit hilfe von additionstheoremen mache, es kommt nix vernünftiges raus :(
Bitte um Abhilfe, vll. wagt sich ja einer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Benko,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Welche Lösungen besitzt die Gleichung:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe versucht mit Hilfe von Additionstheoremen die
> Aufgabe zu lösen und komme nich weiter, gibts vll. eine
> Mgl. durch Substituion? Wie kann man diese Glg. auflösen?
>
>
>
> Gleichung: [mm]\bruch{2cot2x}{1-3cotx}=1/2[/mm]
>
> Hinweis: [mm]cot2x=\bruch{cot^2x-1}{2cotx}[/mm]
>
> [mm]cotx=\bruch{cosx}{sinx}[/mm]
>
> Mein Weg:
>
> 1.umstellen
>
> [mm]2cot2x=\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}cotx[/mm]
>
> 2.umstellen..
>
> [mm]cot2x=\bruch{1}{4}-\bruch{3}{4}cotx[/mm]
>
> 3.ersetzen
>
> [mm]\bruch{cot^2x-1}{2cotx}=\bruch{1}{4}-\bruch{3}{4}cotx[/mm]
>
> 3. umstellen
>
> [mm]cot^2x-1=\bruch{1}{2}cotx-\bruch{3}{2}cot^2x[/mm]
>
> 4.zusammenfassen
>
> [mm]\bruch{5}{2}cot^2x-\bruch{1}{2}cotx-1=0[/mm]
>
> und an der stelle komm ich nich mehr weiter, egal was ich
> mit hilfe von additionstheoremen mache, es kommt nix
> vernünftiges raus :(
>
> Bitte um Abhilfe, vll. wagt sich ja einer
>
Substituiere [mm]z=\cot\left(x\right)[/mm],
dann entsteht eine quadratische Gleichung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Benko |
Hallo Mathepower.
Erstmal vielen Dank, dass du dir Gedanke über mein Problem gemacht hast.
Wenn ich jetzt z=cotx substituiere erhalte ich...
1.null gesetzte glg.
[mm] \bruch{5}{2}cot^2-\bruch{1}{2}cotx-1=0
[/mm]
2.faktor vor [mm] x^2 [/mm] entfernen
[mm] cot^2x-\bruch{1}{5}cotx-{2}{5}=0
[/mm]
3.substituieren
[mm] z^2-\bruch{1}{5}z-\bruch{2}{5}
[/mm]
4. p-q-formel ergebnis:
[mm] z1=\bruch{1+\wurzel{41}}{10}
[/mm]
[mm] z2=\bruch{1-\wurzel{41}}{10}
[/mm]
5. Rücksubstituieren
wenn ich gesagt habe, dass cotx=z, bedeutet das, dass die beiden Lösungen nun meine Lösungen der Ausgangsgleichungen sind? wenn nein wie substituiere ich zurück, so das sie Lösungen Sinn ergeben?
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Hallo Benko,
> Hallo Mathepower.
> Erstmal vielen Dank, dass du dir Gedanke über mein
> Problem gemacht hast.
>
> Wenn ich jetzt z=cotx substituiere erhalte ich...
>
> 1.null gesetzte glg.
>
> [mm]\bruch{5}{2}cot^2-\bruch{1}{2}cotx-1=0[/mm]
>
> 2.faktor vor [mm]x^2[/mm] entfernen
>
> [mm]cot^2x-\bruch{1}{5}cotx-{2}{5}=0[/mm]
>
> 3.substituieren
>
> [mm]z^2-\bruch{1}{5}z-\bruch{2}{5}[/mm]
>
> 4. p-q-formel ergebnis:
>
> [mm]z1=\bruch{1+\wurzel{41}}{10}[/mm]
>
> [mm]z2=\bruch{1-\wurzel{41}}{10}[/mm]
>
> 5. Rücksubstituieren
>
> wenn ich gesagt habe, dass cotx=z, bedeutet das, dass die
> beiden Lösungen nun meine Lösungen der
> Ausgangsgleichungen sind? wenn nein wie substituiere ich
Genau das bedeutet das.
> zurück, so das sie Lösungen Sinn ergeben?
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Fr 02.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo Benko,
>
> > Hallo Mathepower.
> > Erstmal vielen Dank, dass du dir Gedanke über mein
> > Problem gemacht hast.
> >
> > Wenn ich jetzt z=cotx substituiere erhalte ich...
> >
> > 1.null gesetzte glg.
> >
> > [mm]\bruch{5}{2}cot^2-\bruch{1}{2}cotx-1=0[/mm]
> >
> > 2.faktor vor [mm]x^2[/mm] entfernen
> >
> > [mm]cot^2x-\bruch{1}{5}cotx-{2}{5}=0[/mm]
> >
> > 3.substituieren
> >
> > [mm]z^2-\bruch{1}{5}z-\bruch{2}{5}[/mm]
> >
> > 4. p-q-formel ergebnis:
> >
> > [mm]z1=\bruch{1+\wurzel{41}}{10}[/mm]
> >
> > [mm]z2=\bruch{1-\wurzel{41}}{10}[/mm]
> >
> > 5. Rücksubstituieren
> >
> > wenn ich gesagt habe, dass cotx=z, bedeutet das, dass die
> > beiden Lösungen nun meine Lösungen der
> > Ausgangsgleichungen sind? wenn nein wie substituiere ich
>
>
> Genau das bedeutet das.
Zu bedenken ist noch, dass die Kotangensfunktion periodisch ist und es somit für x unendlich viele Lösungen gibt.
Gruß Abakus
>
>
> > zurück, so das sie Lösungen Sinn ergeben?
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:53 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Benko |
Vielen Dank dafür ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Benko |
ich habe mir die Funktion einmal zeichnen lassen und erhalte schnittpunkte bei -8 und 8, das stimmt doch aber nicht mit z1 und z2 überein, das ich durch die substitution erhalten habe?!? wie erhalte ich meine x-werte durch berechnung?
den grafen hab ich in anhang gesetzt..
Grüße Benko
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 Sa 03.11.2012 | | Autor: | abakus |
> ich habe mir die Funktion einmal zeichnen lassen und
> erhalte schnittpunkte bei -8 und 8, das stimmt doch aber
Da hast du nicht die richtige Funktion geplottet.
>
> nicht mit z1 und z2 überein, das ich durch die
> substitution erhalten habe?!? wie erhalte ich meine x-werte
> durch berechnung?
> den grafen hab ich in anhang gesetzt..
Da ist kein Anhang.
Hast du eventuell Winkel im Gradmaß verwendet?
Gruß Abakus
>
> Grüße Benko
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Benko |
also ich habe mich verschrieben,die schnittpunkte liegen laut grafik bei -0,8 und 0,8. aber das entspricht auch nich z1 und z2.
den anhang findest du in der datei "idee", in der ich mein problem das erste mall geschildert habe ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Sa 03.11.2012 | | Autor: | abakus |
> also ich habe mich verschrieben,die schnittpunkte liegen
> laut grafik bei -0,8 und 0,8. aber das entspricht auch nich
> z1 und z2.
Das darf es ja auch nicht. Für die Rücksubstitution musst du die Umkehrung des Kotangens verwenden.
Gruß Abakus
>
> den anhang findest du in der datei "idee", in der ich mein
> problem das erste mall geschildert habe ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 So 04.11.2012 | | Autor: | Benko |
würdest du mir den rechenweg für die umkehrfkt. mit meinen z-werten bitte einmal darstellen,so dass ich verwertbare x-werte erhalte.das wär echt nett, ich bin da irgendwie etwas überfordert.
grüße benko
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