Gleichung aufstellen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Ebene E: [mm] [\vec{x}-\vektor{1\\0\\2}]* \vektor{2\\-3\\4} [/mm] = 0
a) Gesucht sind zwei sich schneidende Geraden , die in der Ebene E liegen.
b) Gesucht sind zwei echt parallele Graden , die in E liegen. |
Hallo,
also die gegebene Ebenengleichung ist eine Normalengleichung.
Wenn ich das jetzt in die Parameterform "umwandle" , habe ich einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Bringt mir das was bei a) ? Mir fehlt der Ansatz ein wenig..
Danke schon im Voraus.
|
|
| |
|
Hallo pc-doctor!
Verwende den Normalenvektor der Ebene: suche Dir zwei verschiedene (d.h. nicht kollinear) Vektoren, welche senkrecht zu dem gegebenen Normalvektor stehen und verwende diese als Richtungsvektoren der Geraden.
Aber wenn Du hier bereits die Ebenengleichung in die Parameterform umgewandelt hast, ist dieser Schritt bereits geschehen.
Wie lautet denn Deine Parameterform?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo,
also mein Fehler war es , dass ich nicht lange nachgedacht habe , die Lösung war quasi schon da.
Hab jetzt als Parameterform :
E : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\2}+r\vektor{3\\2\\0}+s\vektor{0\\4\\3}
[/mm]
Daraus folgt :
g : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\2}+r\vektor{3\\2\\0}
[/mm]
[mm] g_1 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\2}+s\vektor{0\\4\\3}
[/mm]
Schnittpunkt :
[mm] \vektor{1\\0\\2}+r\vektor{3\\2\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\2}+s\vektor{0\\4\\3}
[/mm]
=>
I 1+3r = 1 ( => r = 0 )
II 2r = 4s
III 2 = 2+3s ( => s = 0 )
Ist das so richtig ?
|
|
|
| |
|
Hallo Doc,
> also mein Fehler war es , dass ich nicht lange nachgedacht
> habe , die Lösung war quasi schon da.
>
> Hab jetzt als Parameterform :
>
> E : [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{1\\
0\\
2}+r\vektor{3\\
2\\
0}+s\vektor{0\\
4\\
3}[/mm]
Korrekt. Das ist eine mögliche Form.
> Daraus folgt :
>
> g : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1\\
0\\
2}+r\vektor{3\\
2\\
0}[/mm]
>
> [mm]g_1[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1\\
0\\
2}+s\vektor{0\\
4\\
3}[/mm]
Auch korrekt. Das sind zwei mögliche Geraden.
Da sie den gleichen Aufpunkt haben, ist der Schnittpunkt doch klar. Aber der ist gar nicht gefragt.
Wenn die Geraden nicht parallel sind (was sie hier ja nicht sein können) und in der gleichen Ebene liegen, dann müssen sie sich ja schneiden.
So, wie Du die beiden Geraden angibst, ist der Schnittpunkt einfach abzulesen. Das sollte jedem Korrektor reichen.
Ich würde die Geraden aber entweder mit verschiedenen Buchstaben bezeichnen oder beide indizieren: [mm] g_1, g_2 [/mm] z.B..
> Schnittpunkt :
> [mm]\vektor{1\\
0\\
2}+r\vektor{3\\
2\\
0}[/mm] =
> [mm]\vektor{1\\
0\\
2}+s\vektor{0\\
4\\
3}[/mm]
>
> =>
> I 1+3r = 1 ( => r = 0 )
>
> II 2r = 4s
>
> III 2 = 2+3s ( => s = 0 )
>
> Ist das so richtig ?
Ja.
Und wie kommst Du jetzt zu zwei parallelen Geraden?
Erst überlegen, das ist nämlich genauso einfach.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Danke für die Korrekturen.
Also , wenn die Geraden parallel sein müssen , dann müssen ihre Richtungsvektoren kollinear sein.
Wenn ich als Normalengleichung der Ebene E: $ [mm] [\vec{x}-\vektor{1\\0\\2}]\cdot{} \vektor{2\\-3\\4} [/mm] $ = 0 habe , dann habe ich ja als Stützvektor [mm] \vektor{1\\0\\2}.
[/mm]
Jetzt kann ich mir doch eigentlich die zwei Richtungsvektoren aussuchen , oder ? Die müssen halt nur in E liegen , und kollinear sein.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Danke für die Korrekturen.
>
> Also , wenn die Geraden parallel sein müssen , dann
> müssen ihre Richtungsvektoren kollinear sein.
Klar.
> Wenn ich als Normalengleichung der Ebene E:
> [mm][\vec{x}-\vektor{1\\
0\\
2}]\cdot{} \vektor{2\\
-3\\
4}[/mm] = 0
> habe , dann habe ich ja als Stützvektor
> [mm]\vektor{1\\
0\\
2}.[/mm]
>
> Jetzt kann ich mir doch eigentlich die zwei
> Richtungsvektoren aussuchen , oder ? Die müssen halt nur
> in E liegen , und kollinear sein.
Du hast doch schon zwei Richtungsvektoren für die Parameterform.
Nimm also eine Deiner bisherigen Geraden und erzeuge eine zweite, dazu parallele, indem Du den gleichen Richtungsvektor nimmst und den Aufpunkt einfach in Richtung des anderen Richtungsvektors verschiebst.
Dann ist die Aufgabe gelöst.
Also z.B.
[mm] h_1: \vec{x}=\vektor{1\\0\\2}+r*\vektor{3\\2\\0}
[/mm]
[mm] h_2: \vec{x}=\left(\vektor{1\\0\\2}+\vektor{0\\4\\3}\right)+s*\vektor{3\\2\\0}=\vektor{1\\4\\5}+s*\vektor{3\\2\\0}
[/mm]
Nun sind [mm] h_1, h_2 [/mm] echte Parallelen in der gleichen Ebene.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 12.11.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden.
|
|
|
|
