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| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] $\frac{\cos(\varphi) + \frac12}{\cos(\varphi) -\frac12} [/mm] = [mm] \cot\left(\frac{\varphi}2\right) [/mm] * [mm] \tan\left(\frac{3\varphi}2\right)$ [/mm] |
[mm] cot(\phi/2) [/mm] + [mm] tan(3\pi/2) [/mm] = [mm] \frac{cos(\phi/2)*sin(3\phi/2)}{sin(\phi/2) * cos(3\phi/2)}= \frac{cos^2(\phi/2) sin(\phi) + cos(\phi/2) cos(\phi) sin(\phi/2)}{sin^2(\phi/2)sin(\phi)+sin(\phi/2)*cos(\phi)*cos(\phi/2)}
[/mm]
Leider geht hier nichts zum wegkürzen.
wenn ich arbeite mit 1 = [mm] sin^2 \phi [/mm] + [mm] cos^2 \phi [/mm] um jeden sin durch cos auszutauschen dann entartet das ins chaos durch die wurzeln und ich entziehe dem keine schlüsse..
Nebenrechnung: [mm] sin(3\phi/2) [/mm] = [mm] sin(\phi [/mm] + [mm] \phi/2) [/mm] )= [mm] sin(\phi) *cos(\phi/2) [/mm] + [mm] cos(\phi) [/mm] * [mm] sin(\phi/2) [/mm]
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Hallo theresetom,
> Zeigen Sie
> [mm]\frac{cos(\phi) + 1/2}{cos(\phi) -1/2}[/mm] = [mm]cot(\phi/2)[/mm] [mm] \red{+}[/mm] [mm]tan(3\phi/2)[/mm]
Das rote + stimmt nicht, da muss ein * stehen.
> [mm]cot(\phi/2)[/mm] + [mm]tan(3\pi/2)[/mm] =
> [mm]\frac{cos(\phi/2)*sin(3\phi/2)}{sin(\phi/2) * cos(3\phi/2)}= \frac{cos^2(\phi/2) sin(\phi) + cos(\phi/2) cos(\phi) sin(\phi/2)}{sin^2(\phi/2)sin(\phi)+sin(\phi/2)*cos(\phi)*cos(\phi/2)}[/mm]
>
> Leider geht hier nichts zum wegkürzen.
> wenn ich arbeite mit 1 = [mm]sin^2 \phi[/mm] + [mm]cos^2 \phi[/mm] um jeden
> sin durch cos auszutauschen dann entartet das ins chaos
> durch die wurzeln und ich entziehe dem keine schlüsse..
Stimmt, das ist ein schlechter Plan.
> Nebenrechnung: [mm]sin(3\phi/2)[/mm] = [mm]sin(\phi[/mm] + [mm]\phi/2)[/mm] )=
> [mm]sin(\phi) *cos(\phi/2)[/mm] + [mm]cos(\phi)[/mm] * [mm]sin(\phi/2)[/mm]
Vielleicht führst Du erst einmal alles auf [mm] \sin{(\phi/2)} [/mm] und [mm] \cos{(\phi/2)} [/mm] zurück. Dann siehst Du auch besser, was man tatsächlich kürzen kann. Tipp: Halbwinkelsätze.
Alles in allem ist das aber eine Sauarbeit. Ich sehe nur gerade keinen leichteren Weg.
Grüße
reverend
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Ich kann mich über "Halbwinkelsätze" schlau machen, aber ich glaube nicht dass sie der einfache Lösungweg sind, da diese noch nicht in der Vorlesung drangekommen sind.;)
LG
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Hiho,
differenzier beide Seiten mal und schau, was dabei herauskommt 
MFG,
Gono.
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$ [mm] \frac{cos(\phi) + 1/2}{cos(\phi) -1/2} [/mm] $ = $ [mm] cot(\phi/2) [/mm] $ * $ [mm] tan(3\phi/2) [/mm] $
($ [mm] \frac{cos(\phi) + 1/2}{cos(\phi) -1/2} [/mm] $)' = [mm] \frac{-sin(\phi) }{cos(\phi)-1/2}+\frac{(cos(\phi)+1/2)*sin(\phi)}{(cos(\phi)-1/2)^2}
[/mm]
($ [mm] cot(\phi/2) [/mm] $ * $ [mm] tan(3\phi/2) [/mm] $)' =
[mm] ={{3\,\cos \left({{x}\over{2}}\right)\,\sin ^2\left({{3\,x}\over{2}} \right)}\over{2\,\sin \left({{x}\over{2}}\right)\,\cos ^2\left({{3\, x}\over{2}}\right)}}-{{\cos ^2\left({{x}\over{2}}\right)\,\sin \left({{3\,x}\over{2}}\right)}\over{2\,\sin ^2\left({{x}\over{2}} \right)\,\cos \left({{3\,x}\over{2}}\right)}}-{{\sin \left({{3\,x }\over{2}}\right)}\over{2\,\cos \left({{3\,x}\over{2}}\right)}}+{{3 \,\cos \left({{x}\over{2}}\right)}\over{2\,\sin \left({{x}\over{2}} \right)}}
[/mm]
Was sehe ich nun, bzw. was bringt mir das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\frac{cos(\phi) + 1/2}{cos(\phi) -1/2}[/mm] = [mm]cot(\phi/2)[/mm] *
> [mm]tan(3\phi/2)[/mm]
>
> ([mm] \frac{cos(\phi) + 1/2}{cos(\phi) -1/2} [/mm])' =
> [mm]\frac{-sin(\phi) }{cos(\phi)-1/2}+\frac{(cos(\phi)+1/2)*sin(\phi)}{(cos(\phi)-1/2)^2}[/mm]
>
> ([mm] cot(\phi/2)[/mm] * [mm]tan(3\phi/2) [/mm])' =
> [mm]={{3\,\cos \left({{x}\over{2}}\right)\,\sin ^2\left({{3\,x}\over{2}} \right)}\over{2\,\sin \left({{x}\over{2}}\right)\,\cos ^2\left({{3\, x}\over{2}}\right)}}-{{\cos ^2\left({{x}\over{2}}\right)\,\sin \left({{3\,x}\over{2}}\right)}\over{2\,\sin ^2\left({{x}\over{2}} \right)\,\cos \left({{3\,x}\over{2}}\right)}}-{{\sin \left({{3\,x }\over{2}}\right)}\over{2\,\cos \left({{3\,x}\over{2}}\right)}}+{{3 \,\cos \left({{x}\over{2}}\right)}\over{2\,\sin \left({{x}\over{2}} \right)}}[/mm]
>
> Was sehe ich nun, bzw. was bringt mir das?
>
ich hab' nichts nachgerechnet, aber die Idee dahinter wäre gewesen, zu sehen, dass da beidseitig das gleiche rauskommt - und wenn die Gleichung dann noch für ein [mm] $\phi$ [/mm] stimmte, könnte man dann folgern, dass sie für alle stimmen würde.
Auch, wenn die "richtige" Vorgehensweise so gewesen wäre, dass man erstmal alles auf eine Seite der Gleichung rüberschaufelt, so dass auf der anderen [mm] $0\,$ [/mm] stehenbleibt, und man dann die Nichtnullseite als Funktion von [mm] $\phi$ [/mm] definiert etc. pp..
Ich zeig's Dir mal an einem einfachen Beispiel (unter der Annahme, dass wir schon wissen, dass und wie man Sinus und Kosinus differenzieren kann und darf):
Du würdest gerne [mm] $\sin(\phi+r)=\sin(\phi)\cos(r)+\sin(r)\cos(\phi)$ [/mm] für alle reellen [mm] $\phi$ [/mm] beweisen,wobei $r [mm] \in \IR$ [/mm] fest sei. Dazu definierst Du [mm] $f_r(\phi):=\sin(\phi+r)-\sin(\phi)\cos(r)-\sin(r)\cos(\phi)$ [/mm] und hast nun zu zeigen, dass (für jedes feste $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dass) [mm] $f_r=0\,,$ [/mm] also identisch verschwindet. Wir gehen (warum auch immer - ich mache es hier nur, damit man sich auf's Wesentliche beschränkt) davon aus, dass man anderweitig schon [mm] $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ [/mm] bewiesen hat!
Nun gilt hier
[mm] $$f_r'(\phi)=\cos(\phi+r)-\cos(\phi)\cos(r)+\sin(\phi)\sin(r)=\cos(\phi+r)-(\cos(\phi)\cos(r)-\sin(\phi)\sin(r))=0\,.$$
[/mm]
Also ist jedes [mm] $f_r$ [/mm] identisch konstant! Aus [mm] $f_r(0)=\sin(r)-0*\cos(r)-\sin(r)*1=0$ [/mm] folgt, dass [mm] $f_r$ [/mm] identisch Null ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Mi 30.05.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo,
man könnte auch beide Seiten integrieren. Nur ist das leider selten einfacher...
Hier jedenfalls bestimmt nicht.
lg
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo reverend,
> Hallo,
>
> man könnte auch beide Seiten integrieren. Nur ist das
> leider selten einfacher...
ob das überhaupt mal einfacher wird? Beim Ableiten ist ja meist die Hoffnung, dass bestenfalls auch Terme verschwinden.
Außerdem macht das Integrieren die Sache schwieriger. Oben ist es so (ohne wirklich alle Voraussetzungen hinzuschreiben - nehmen wir etwa einfach an, $f\,$ und $g\,$ seien auf einem Intervall definiert):
Wenn man $f(x) \equiv g(x)$ (d.h. $f(x)=g(x)$ für alle $x\,$) zeigen will, setzt man etwa $h(x):=f(x)-g(x)$ und rechnet $h'(x) \equiv 0$ nach. Daraus folgt, dass $h(x) \equiv\text{konstant}$ ist. Wenn man nun $h(x_0)=0$ nachrechnet für ein $x_0$ aus dem Definitionsbereich von $h\,,$ so folgt $h(x) \equiv 0$ und damit $f(x) \equiv g(x)\,.$
Wenn man aber integriert:
Dann muss man zusehen, dass dann erkennbar ist, dass $\left.\int h(t)dt\right|_x\equiv:H(x)$ erfüllt $H(x)\equiv \text{konstant}\,.$ (Dabei steht hier $\int h(t)dt$ für eine Stammfunktion von $h\,,$ also etwa $H:=\int h(t)dt$ - und mit $\left.\int h(t)dt\right|_x$ meine ich die Auswertung dieser Stammfunktion an der Stelle $x\,.$) Nachzuweisen, dass eine Funktion identisch verschwindet, sollte natürlich stets einfacher sein, als zu zeigen, dass sie identisch konstant ist. Zumal man bei $H\,$ ja nun nicht wieder mit $H'=h\,$ arbeiten will, denn anderenfalls kann man sich den ganzen Weg sparen: Man will ja von vorneherein zeigen, dass $h=0\,.$
Von daher frage ich mich, ob die "Integrierungs-Strategie" bei solchen Aufgaben überhaupt schonmal irgendwo Sinn gemacht hat? (Bei trigonometrischen Funktionen könnte ich es mir noch vorstellen, weil man dann eventuell an der ein oder anderen Stelle vielleicht besser mit Additionstheoremen zurechtkommt...)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> Zeigen Sie
> [mm] \frac{cos(\phi) + 1/2}{cos(\phi) -1/2}=cot(\phi/2)\blue{\ast} \tan(3\phi/2)
[/mm]
Alternative:
[mm] $\cos [/mm] x = [mm] \frac{\exp(ix)+\exp(-ix)}{2}$
[/mm]
[mm] $\sin [/mm] x = [mm] \frac{\exp(ix)-\exp(-ix)}{2\mathrm{i}} [/mm] $
[mm] \tan(x)=\ldots
[/mm]
[mm] \cot(x)=\ldots
[/mm]
Damit kommt man bei Additionstheoremen für Winkelfunktion eigentlich immer weiter.
Ich behaupte aber nicht, dass es viel einfacher wird.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Mi 30.05.2012 | | Autor: | weduwe |
mit [mm] tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\cdot tan\beta} [/mm] und [mm] \alpha=\frac{\phi}{2} [/mm] sowie [mm] tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha} [/mm] bekommt man auf der rechten seite flugs
[mm]R=\frac{3-4sin^2\alpha}{1-4sin^2\alpha}[/mm]
mit [mm] cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=1-2sin^2\alpha [/mm] auf der linken seite
[mm]L=\frac{1.5-2sin^2\alpha}{0.5-2sin^2\alpha}[/mm]
nun erweitere man L mit 2 und vergleiche mit R
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Hallo
[mm] \phi [/mm] setzt du für [mm] \beta [/mm] ein ?
dann habe ich
[mm] tan(\phi/2 [/mm] + [mm] \phi)= \frac{\frac{sin(\phi/2)}{cos(\phi/2)}+\frac{sin(\phi)}{cos(\phi)}}{1- \frac{sin(\phi/2)*sin(\phi)}{cos(\phi/2)*cos(\phi)}}
[/mm]
[mm] tan(\phi/2 [/mm] + [mm] \phi) [/mm] * [mm] cot(\phi/2)=\frac{\frac{sin(\phi/2)}{cos(\phi/2)}+\frac{sin(\phi)}{cos(\phi)}}{1- \frac{sin(\phi/2)*sin(\phi)}{cos(\phi/2)*cos(\phi)}} [/mm] * [mm] \frac{cos(\phi/2)}{sin(\phi/2)}
[/mm]
= [mm] \frac{sin(\phi/2)+\frac{sin(\phi)*cos(\phi/2)}{cos(\phi)}}{sin(\phi/2)- \frac{sin^2(\phi/2)*sin(\phi)}{cos(\phi/2)*cos(\phi)}} [/mm]
Nun?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Do 31.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein bissel selber denken hilft dir da!
Gruss leduart
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...
ich komme nicht zu seiner Darstellung
$ [mm] \frac{sin(\phi/2)+\frac{sin(\phi)\cdot{}cos(\phi/2)}{cos(\phi)}}{sin(\phi/2)- \frac{sin^2(\phi/2)\cdot{}sin(\phi)}{cos(\phi/2)\cdot{}cos(\phi)}} [/mm] $
=..=
[mm] \frac{ cos(\phi) * sin(\phi/2) cos (\phi/2) + sin(\phi) * cos^2 (\phi/2)}{cos (\phi) * sin(\phi/2) * cos(\phi/2) - sin^2 (\phi/2) * sin(\phi)}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Do 31.05.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
du musst schon alles auf [mm] \alpha=\phi/2 [/mm] zurueckfueren, bevor du in sin cos umformst erst mal alles durch [mm] tan\alpha [/mm] umformen also dein [mm] \beta [/mm] nochmal in [mm] \alpha [/mm] umwandeln. oder in Wiki trigonometrische Formelsammlung nach tan(3x)= suchen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Fr 01.06.2012 | | Autor: | weduwe |
ich versuche dir auf die sprünge zu helfen:
mit [mm] \alpha=\frac{\phi}{2}
[/mm]
[mm]R= \frac{1}{tan\alpha}\cdot\frac{tan\alpha+tan2\alpha}{1-tan\alpha\cdot tan2\alpha}[/mm]
damit geht´s im zähler so weiter
[mm] \to Z_R=1-tan^2\alpha+2=3cos^2\alpha-sin^2\alpha=3-4sin^2\alpha
[/mm]
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