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Forum "Differenzialrechnung" - Gleichung der Tangente
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Gleichung der Tangente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 So 28.05.2006
Autor: claudia77

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f(x)=ln(1/2x).
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an f, deren Berührpunkt die Ordinate y=2 besitzt.

Hallo,
hoffentlich kann mir jemand helfen.
Die erste Ableitung von ln(1/2x) ist 1/x und damit auch die Steigung.
Eingesetzt müsste die Gleichung so aussehen.
2=1/x*x+n
Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter.
Kann mir jemand sagen wie man die Tangente berrechnet?
Vielen Dank

        
Bezug
Gleichung der Tangente: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 21:44 So 28.05.2006
Autor: hase-hh

moin,

deine funktion f(x)= ln( [mm] \bruch{1}{2}x) [/mm]

die allgemeine form der geradengleichung lautet

y= mx + n

allgemein
die steigung m = f'(x)

f'(x)=  [mm] \bruch{1}{ \bruch{1}{2}x} [/mm]

f'(x)=  [mm] \bruch{2}{x} [/mm]    !!


y=  [mm] \bruch{2}{x} [/mm] * x + n

y= 2 + n

da der berührpunkt  die Koordinaten (? / 2)  hat... gilt:

f(x)=2 = ln ( [mm] \bruch{1}{2}x) [/mm]

und

y = 2 = 2 + n  => n=0

meine tangentengleichung lautet also:

y= 2  !


der berührpunkt hat die x-koordinate:

2 = ln ( [mm] \bruch{1}{2}x) [/mm]      

[mm] e^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm]

x = 2 [mm] e^2 [/mm] = 14,88

f(14,88)=2

y = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] * x




m= ( [mm] \bruch{2}{14,88})= [/mm] 0,135
f'(14,88)= [mm] ln'(\bruch{1}{2}*14,88)= [/mm] 0,135

interessant!


gruss
wolfgang















Bezug
                
Bezug
Gleichung der Tangente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 So 28.05.2006
Autor: claudia77

Hallo Wolfgang,
dankeschön ich konnte den Weg nachvollziehen.
Aber zum Schluss schreibst du
m= ln'( $ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{} [/mm] $ 14,88)= 0,135
meinst damit wahrscheinlich aber
ln'1/( $ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{} [/mm] $ 14,88)= 0,135
Ist das nicht doppelt?

Und wenn ich diese Gleichung y=1,35x in mein Programm eingebe, schneidet diese Gleichung ln(0,5x) an 2 Stellen.
Meine Gleichung, die ich aber nicht begründen kann, lautet: 0,0676x+1
nochmal Dankeschön
Viele Grüße Claudia

Bezug
                        
Bezug
Gleichung der Tangente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 So 28.05.2006
Autor: hase-hh

moin,

stimmt eigentlich müßte die tangentengleichung lauten:

y= 0,135x

ln(0,5x) = 0,135x


weiß ich so im moment nicht.


deine 0,0676 ist allerdings die hälft evon 0,135... vielleicht hilft das weiter.






Bezug
                
Bezug
Gleichung der Tangente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:00 So 28.05.2006
Autor: TomJ

Hallo zusammen,

wegen der inneren Ableitung lautet tatsächlich
f'(x)= [mm] \bruch{1}{2}\*\bruch{1}{x/2} [/mm] = 1/x
Für [mm] x=2*e^2 [/mm] (x=14.78) gilt f(x)=2.
Die Tangentenglg. lautet somit
y= [mm] \bruch{1}{2e^2}\*x+1 [/mm] oder
y=0.0677x+1



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