Gleichung der Tangente < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 So 19.09.2004 | | Autor: | Suni |
Also hab ein sehr großes Problem.
Meine Aufgabe lautet: Für welchen Punkt des Schaubildes der Funktion f(x)=Wurzel x geht die Tangente durch A(0/1)? Gib die Gleichung der Tangente an.
Anmerkung: Punkt A ist kein Punkt im Schaubild f(x)
Wie kann ich wenn ich nur ein Punkt gegeben habe eine Tangentengleichung an das Schaubild f(x) herausbekommen. Suche schon lange vergebens den Lösungsweg.
Bitte dringlichst um Hilfe!!!
Danke!!!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 So 19.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Suni,
du kannst folgendes machen:
Du führst den Berührpunkt B(a;b) ein. Deine Aufgabe ist dann a und b zu bestimmen.
Dazu brauchst du zwei Gleichungen:
1) f(a) = b
2) Die Steigung der Geraden AB ist gleich f'(a).
Vielleicht kommst du damit schon weiter. Sonst melde dich
Gruß Sigrid
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Die Gleichung der Tangente, in Punkt-Richtungs-Form,
im Punkt $x=p$ einer Funktion $f(x)$
ist
[mm] $t_p(x)=f(p)+(x-p)*f'(p)$
[/mm]
Soll
nun eine Tangente gefunden werden, die den Punkt ( X; Y ) enthält
muß
die Gleichung [mm] $t_p(X) [/mm] = Y$ nach $p$ gelöst werden.
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Hallo Suni,
> Also hab ein sehr großes Problem.
> Meine Aufgabe lautet: Für welchen Punkt des Schaubildes
> der Funktion $w(x) = [mm] \wurzel{x}$ [/mm] geht die Tangente durch A(0|1)?
> Gib die Gleichung der Tangente an.
Die anderen haben dir eigentlich schon alle nötigen Hinweise gegeben. Aber ich gebe dir zur Sicherheit nochmal die Lösung. Du kannst es ja zunächst selber versuchen und dann nachschauen.
Die Tangente lautet: $t(x) = [mm] ax+b\!$
[/mm]
Die Funktion lautet: $w(x) = [mm] \wurzel{x}$
[/mm]
Wir wissen, daß die Ableitung einer Funktion anschaulich ihre Steigung in einem Punkt beschreibt.
Die "Steigungsfunktion" von [mm] $w(x)\!$ [/mm] ist demnach $w'(x) = [mm] 0.5*x^{0.5-1} [/mm] = [mm] \tfrac{1}{2\sqrt{x}}$. [/mm] Da [mm] $t(x)\!$ [/mm] aber eine Tangente ist, gilt für deren Steigung offensichtlich $a = w'(x)$. Nun soll [mm] $t(x)\!$ [/mm] aber durch [mm] $A\!$ [/mm] gehen. Also: $t(0) = b [mm] \Rightarrow [/mm] b = 1$. Und weil [mm] $t(x)\!$ [/mm] und [mm] $w(x)\!$ [/mm] einen gemeinsamen Punkt haben, gilt $w(x) = t(x) [mm] \gdw [/mm] a = [mm] \tfrac{\sqrt{x}-1}{x}$. [/mm] Es gilt also insgesamt [m]w'(x) = \tfrac{1}{2\sqrt{x}} = \tfrac{\sqrt{x}-1}{x} \gdw x = 4[/m]. Also ist $a = [mm] \tfrac{1}{2\sqrt{4}} [/mm] = [mm] \tfrac{1}{4}$ [/mm] und [m]t(x) = \tfrac{x}{4} + 1[/m].
Viele Grüße
Karl
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:19 So 19.09.2004 | | Autor: | Suni |
Also ersteimal danke für die schnelle Rückantwort.
Doch leider sind mir noch ein paar Dinge unklar.
Z.B. Wie kommst du auf die Gleichung a= Wurzel (x) -1/x
da blick ich überhaupt nicht durch.
Und zweitens hast du die Gleichungen t(x) und w(x) gleichgesetzt.
habe das mal nachgerechnet und nach x umgestellt. Mit hilfe der Nullstellen Formel der Quadratische Funktionen bekomme ich für x1= 4 und x2= 0.
Was mache ich mit der x=0 und gibt es noch eine andere Möglichkeit x auszurechen ausser der der Nullstellen.
Danke für deine Antwort!!!
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> Also ersteimal danke für die schnelle Rückantwort.
> Doch leider sind mir noch ein paar Dinge unklar.
> Z.B. Wie kommst du auf die Gleichung $a = [mm] \bruch{\wurzel{x}-1}{x}$
[/mm]
Also etwas ausführlicher:
[m]w(x) = t(x) \gdw \wurzel{x} = ax+1 \gdw \wurzel{x}-1 = ax \gdw \bruch{\wurzel{x}-1}{x} = a[/m]
> Und zweitens hast du die Gleichungen $t(x)$ und $w(x)$
> gleichgesetzt.
> habe das mal nachgerechnet und nach x umgestellt. Mit
> hilfe der Nullstellen Formel der Quadratische Funktionen
> bekomme ich für [mm] $x_1 [/mm] = 4$ und [mm] $x_2 [/mm] = 0$.
> Was mache ich mit der $x = 0$ und gibt es noch eine andere
> Möglichkeit x auszurechen ausser der der Nullstellen.
> Danke für deine Antwort!!!
Wofür rechnest du hier die Nullstellen aus? Und vor allem wie kommst du jetzt genau auf diese Ergebnisse? Das verstehe ich jetzt selber nicht! 
Viele Grüße
Karl
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