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| Aufgabe | | Stellen Sie die Nullstellen von [mm] x^{3}+3x^{2}+2x-1=0 [/mm] als verschachtelte Wurzelausdrücke über [mm] \IQ [/mm] dar. |
Hallo ihr Lieben,
ich hab das jetzt schon 3 mal gerechnet, und bekomme immer dasselbe raus, langsam hab ich die Vermutung, dass ich etwas von der Tafel in der Vorlesung falsch abgeschrieben habe... :( - kennt sich da jemand aus und sieht den Fehler? Rechnerisch müsste es jetzt stimmen und die Schritte hab ich alle so gemacht, wie es der Prof. in der VL uns gezeigt hat.
Danke schonmal für die Antworten!
Lg FilleDeDanann
Hier meine Rechnung:
1. Schritt: Setze z:= [mm] x+\bruch{p}{3} [/mm] wobei p der Koeff. vor [mm] x^{2} [/mm] ist.
Also: [mm] z=x+\bruch{3}{3}=x+1 [/mm] --> x=z-1
In die Gleichung:
[mm] (z-1)^{3}+3(z-1)^{2}+2(z-1)-1=0
[/mm]
<=> [mm] z^{3}-z-1=0
[/mm]
2. Schritt: setzte z=u+v
In die Gleichung:
[mm] (u+v)^{3}-(u+v)-1=0
[/mm]
<=> [mm] u^{3}+v^{3}+(u+v)(3uv-1)-1=0
[/mm]
Es muss gelten: 3uv-1=0 --> [mm] v=\bruch{1}{3u}
[/mm]
In die Gleichung:
[mm] u^{3}+\bruch{1}{9u^{3}}+0-1=0
[/mm]
Die Gleichung mit [mm] u^{3} [/mm] multiplizieren:
[mm] (u^{3})^{2}-u^{3}+\bruch{1}{9}=0
[/mm]
Mit Lösungsformel für Grad 2:
[mm] u^{3}_{1/2}=\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{5}}{6}
[/mm]
Damit erhalten wir für u:
[mm] u_{1/2}=\wurzel[3]{\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{5}}{6}
}
[/mm]
Damit erhalten wir mit [mm] z=u+v=u+\bruch{1}{3u}:
[/mm]
[mm] z_{1/2}=\wurzel[3]{\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{5}}{6}}+\bruch{1}{3\wurzel[3]{\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{5}}{6}}}
[/mm]
Damit erhalten wir schließlich mit z=x+1 --> x=z-1:
[mm] x_{1/2}=\wurzel[3]{\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{5}}{6}}+\bruch{1}{3\wurzel[3]{\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{5}}{6}}}-1
[/mm]
Wenn ich das aber ausrechne und einsetze, kommt 0,08 raus, und eben nicht Null. Ich verzweifel bald :(((((!!!
Bitte helft mir! Danke!
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Ich sehe es nicht, hab auch gerade nicht die Energie, das durchzuschauen - aber du findest unter dem Stichwort "Cardano Formeln" oder "Cardanische Formeln" (ich suche mit google.de) genau diesen Lösungsweg und kannst so zumindest kontrollieren, ob deine Mitschrift okay ist.
Gruß,
Martin
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Ich bin so blöd :(((!!!
[mm] 3^{3} [/mm] ist natürlich 27 und nicht 9!!!!!!!!!!!!!
Hat sich erledigt, habs eingesetzt und es kam Null raus, mann o mann!!!
Also statt [mm] \bruch{\wurzel{5}}{6} [/mm] bitte [mm] \bruch{\wurzel{23}}{6\wurzel{3}} [/mm] schreiben, dann stimmts :), es kommt ca. 0,32 raus und damit wird die Gleichung Null.
Aber trotzdem Danke für die Bemühungen und den Tipp mit der Bezeichnung :)!
Lg FilleDeDanann
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Hallo FilleDeDanann,
> Stellen Sie die Nullstellen von [mm]x^{3}+3x^{2}+2x-1=0[/mm] als
> verschachtelte Wurzelausdrücke über [mm]\IQ[/mm] dar.
> Hallo ihr Lieben,
>
> ich hab das jetzt schon 3 mal gerechnet, und bekomme immer
> dasselbe raus, langsam hab ich die Vermutung, dass ich
> etwas von der Tafel in der Vorlesung falsch abgeschrieben
> habe... :( - kennt sich da jemand aus und sieht den Fehler?
> Rechnerisch müsste es jetzt stimmen und die Schritte hab
> ich alle so gemacht, wie es der Prof. in der VL uns gezeigt
> hat.
>
> Danke schonmal für die Antworten!
>
> Lg FilleDeDanann
>
> Hier meine Rechnung:
>
> 1. Schritt: Setze z:= [mm]x+\bruch{p}{3}[/mm] wobei p der Koeff. vor
> [mm]x^{2}[/mm] ist.
> Also: [mm]z=x+\bruch{3}{3}=x+1[/mm] --> x=z-1
>
> In die Gleichung:
> [mm](z-1)^{3}+3(z-1)^{2}+2(z-1)-1=0[/mm]
> <=> [mm]z^{3}-z-1=0[/mm]
>
> 2. Schritt: setzte z=u+v
>
> In die Gleichung:
> [mm](u+v)^{3}-(u+v)-1=0[/mm]
> <=> [mm]u^{3}+v^{3}+(u+v)(3uv-1)-1=0[/mm]
>
> Es muss gelten: 3uv-1=0 --> [mm]v=\bruch{1}{3u}[/mm]
>
> In die Gleichung:
> [mm]u^{3}+\bruch{1}{9u^{3}}+0-1=0[/mm]
Die Gleichung muß hier doch lauten:
[mm]u^{3}+\bruch{1}{\red{3^{3}}u^{3}}+0-1=0[/mm]
>
> Die Gleichung mit [mm]u^{3}[/mm] multiplizieren:
> [mm](u^{3})^{2}-u^{3}+\bruch{1}{9}=0[/mm]
>
> Mit Lösungsformel für Grad 2:
> [mm]u^{3}_{1/2}=\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{5}}{6}[/mm]
>
> Damit erhalten wir für u:
> [mm]u_{1/2}=\wurzel[3]{\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{5}}{6}
}[/mm]
>
> Damit erhalten wir mit [mm]z=u+v=u+\bruch{1}{3u}:[/mm]
>
> [mm]z_{1/2}=\wurzel[3]{\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{5}}{6}}+\bruch{1}{3\wurzel[3]{\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{5}}{6}}}[/mm]
>
> Damit erhalten wir schließlich mit z=x+1 --> x=z-1:
>
> [mm]x_{1/2}=\wurzel[3]{\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{5}}{6}}+\bruch{1}{3\wurzel[3]{\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{5}}{6}}}-1[/mm]
>
> Wenn ich das aber ausrechne und einsetze, kommt 0,08 raus,
> und eben nicht Null. Ich verzweifel bald :(((((!!!
x=0 ist keine Nullstelle von [mm]x^{3}+3x^{2}+2x-1=0[/mm]
> Bitte helft mir! Danke!
Gruss
MathePower
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