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| Aufgabe | Dies ist eine Gleichung, mit deren Hilfe eine vollstandige Induktion bewiesen werden soll.
[mm] \bruch{2^k+(-1)^{k+2}}{3*2^{k-1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}} [/mm] + [mm] \bruch{2^{k-2}+(-1)^{k-1}}{3*2^{k-3}}] [/mm] |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dieser Gleichung, bei der ich immer wieder an einem bestiemten Punkt hängen bleibe.
Die Daten habe ich mehrfach kontroliert, aber so wie sie hier stehen sind sie tatsächlich richtig.
Nun vermute ich, dass mir irgendwelche Umformungsregeln unbekannt sind und hoffe hier Hilfe zu finden.
[mm] \bruch{2^k+(-1)^{k+2}}{3*2^{k-1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}} [/mm] + [mm] \bruch{2^{k-2}+(-1)^{k-1}}{3*2^{k-3}}]
[/mm]
Auf der rechten Seite der Gleichung würde ich einen gemeinsammen HN suchen. Meine Idee wäre einfach, den letzten Bruch dort mit [mm] \bruch{2}{2} [/mm] zu multiplizieren.
Dann erreiche ich
= [mm] \bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}} [/mm] + [mm] \bruch{2*2^{k-2}+2*(-1)^{k-1}}{3*2*2^{k-3}}]
[/mm]
Was mir erlaubt den Nenner 3*2*2^(k-3) umzuformen zu 3*2^(k-2).
Damit komme ich auf
= [mm] \bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}} [/mm] + [mm] \bruch{2*2^{k-2}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-2}}]
[/mm]
Nun würde ich [mm] 2(2^{k-2}) [/mm] im Zähler umformen zu [mm] 2^{k-1}.
[/mm]
Dann bekomme ich
= [mm] \bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}} [/mm] + [mm] \bruch{2^{k-1}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-2}}]
[/mm]
Dann stelle ich wegen der Übersichtlichkeit den Zähler etwas um
[mm] =\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+2^{k-1}+ (-1)^{k}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-2}}]
[/mm]
Nun nutze ich die Möglichkeit den Nenner zu kürzen und erhalte
[mm] =\bruch{1}{2}[\bruch{2*2^{k}+ (-1)^{k}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-1}}]
[/mm]
Bin ich bis hierher richtig?
Nun sieht der erste Teil des Zählers und der Nenner schon ganz gut aus, aber an [mm] (-1)^{k}+2*(-1)^{k-1} [/mm] beiße ich mir nun schon seit einiger Zeit die Zähne aus.
Ich bin wirklich noch am verzweifeln mit dieser Gleichung und wäre daher sehr dankbar, wenn mir jemand mit dem nächsten Schritt hilft bzw bisher begangene Fehler aufzeigt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Di 21.07.2015 | | Autor: | hippias |
> Dies ist eine Gleichung, mit deren Hilfe eine vollstandige
> Induktion bewiesen werden soll.
> [mm]\bruch{2^k+(-1)^{k+2}}{3*2^{k-1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2^{k-2}+(-1)^{k-1}}{3*2^{k-3}}][/mm]
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem mit dieser Gleichung, bei der ich
> immer wieder an einem bestiemten Punkt hängen bleibe.
>
...
> Dann stelle ich wegen der Übersichtlichkeit den Zähler
> etwas um
>
> [mm]=\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+2^{k-1}+ (-1)^{k}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-2}}][/mm]
>
> Nun nutze ich die Möglichkeit den Nenner zu kürzen und
> erhalte
Bis hierhin ist alles richtig...
>
> [mm]=\bruch{1}{2}[\bruch{2*2^{k}+ (-1)^{k}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-1}}][/mm]
>
... aber hier hast Du Dich vermutlich gewaltig verschrieben: es heisst im Zaehler [mm] $2^{k}$ [/mm] und nicht [mm] $2\cdot 2^{k}$; [/mm] im Nenner, wenn Du den Faktor [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] beibehalten moechtest, [mm] $3\cdot 2^{k-2}$.
[/mm]
> Bin ich bis hierher richtig?
>
> Nun sieht der erste Teil des Zählers und der Nenner schon
> ganz gut aus, aber an [mm](-1)^{k}+2*(-1)^{k-1}[/mm] beiße ich mir
> nun schon seit einiger Zeit die Zähne aus.
Eine Moeglichkeit zu erkennen, ob [mm] $(-1)^{k}+2\cdot(-1)^{k-1}= (-1)^{k+2}$ [/mm] ist, waere ersteinmal ein paar Werte fuer $k$ einzusetzen. Man erkennt es auch, indem Du im linken Term [mm] $(-1)^{k-1}$ [/mm] ausklammerst. Im Uebrigen nehme ich an, dass Du Dich verschrieben hast: es wird wohl [mm] $(-1)^{k+1}$ [/mm] statt [mm] $(-1)^{k+2}$ [/mm] heissen.
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> Ich bin wirklich noch am verzweifeln mit dieser Gleichung
> und wäre daher sehr dankbar, wenn mir jemand mit dem
> nächsten Schritt hilft bzw bisher begangene Fehler
> aufzeigt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Di 21.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Dies ist eine Gleichung, mit deren Hilfe eine vollstandige
> Induktion bewiesen werden soll.
> [mm]\bruch{2^k+(-1)^{k+2}}{3*2^{k-1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2^{k-2}+(-1)^{k-1}}{3*2^{k-3}}][/mm]
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem mit dieser Gleichung, bei der ich
> immer wieder an einem bestiemten Punkt hängen bleibe.
Also für k=3 und k=4 ist obige Gl. falsch
FRED
>
> Die Daten habe ich mehrfach kontroliert, aber so wie sie
> hier stehen sind sie tatsächlich richtig.
>
> Nun vermute ich, dass mir irgendwelche Umformungsregeln
> unbekannt sind und hoffe hier Hilfe zu finden.
>
> [mm]\bruch{2^k+(-1)^{k+2}}{3*2^{k-1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2^{k-2}+(-1)^{k-1}}{3*2^{k-3}}][/mm]
>
> Auf der rechten Seite der Gleichung würde ich einen
> gemeinsammen HN suchen. Meine Idee wäre einfach, den
> letzten Bruch dort mit [mm]\bruch{2}{2}[/mm] zu multiplizieren.
>
> Dann erreiche ich
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2*2^{k-2}+2*(-1)^{k-1}}{3*2*2^{k-3}}][/mm]
>
> Was mir erlaubt den Nenner 3*2*2^(k-3) umzuformen zu
> 3*2^(k-2).
>
> Damit komme ich auf
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2*2^{k-2}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-2}}][/mm]
>
> Nun würde ich [mm]2(2^{k-2})[/mm] im Zähler umformen zu [mm]2^{k-1}.[/mm]
> Dann bekomme ich
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2^{k-1}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-2}}][/mm]
>
> Dann stelle ich wegen der Übersichtlichkeit den Zähler
> etwas um
>
> [mm]=\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+2^{k-1}+ (-1)^{k}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-2}}][/mm]
>
> Nun nutze ich die Möglichkeit den Nenner zu kürzen und
> erhalte
>
> [mm]=\bruch{1}{2}[\bruch{2*2^{k}+ (-1)^{k}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-1}}][/mm]
>
> Bin ich bis hierher richtig?
>
> Nun sieht der erste Teil des Zählers und der Nenner schon
> ganz gut aus, aber an [mm](-1)^{k}+2*(-1)^{k-1}[/mm] beiße ich mir
> nun schon seit einiger Zeit die Zähne aus.
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> Ich bin wirklich noch am verzweifeln mit dieser Gleichung
> und wäre daher sehr dankbar, wenn mir jemand mit dem
> nächsten Schritt hilft bzw bisher begangene Fehler
> aufzeigt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Di 21.07.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Dies ist eine Gleichung, mit deren Hilfe eine vollstandige
> Induktion bewiesen werden soll.
> [mm]\bruch{2^k+(-1)^{k+2}}{3*2^{k-1}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}}[/mm] + [mm]\bruch{2^{k-2}+(-1)^{k-1}}{3*2^{k-3}}][/mm]
Wie hippias schon vermutet hat und fred97 anhand zweier Stichproben festgestellt hat ist die Gleichung falsch. Links gehört [mm] $(-1)^{k+1}$ [/mm] anstelle von [mm] $(-1)^{k+2}$.
[/mm]
> Nun sieht der erste Teil des Zählers und der Nenner schon
> ganz gut aus, aber an [mm](-1)^{k}+2*(-1)^{k-1}[/mm] beiße ich mir
> nun schon seit einiger Zeit die Zähne aus.
beachte, dass sich am Ergebnis von [mm] (-1)^n [/mm] mit $n [mm] \in \IN$ [/mm] nichts ändert, wenn du im Exponenten gerade Zahlen addierst oder subtrahierst und dass sich das Vorzeichen ändert, wenn du ungerade Zahlen addierst oder subtrahierst.
Demnach ist [mm] $(-1)^k=-(-1)^{k+1}$ [/mm] und [mm] $(-1)^{k-1}=(-1)^{k+1}$, [/mm] das sollte dir weiter helfen.
RMix
P.S.: Es ist auffällig, dass deine Frage in etwa dort ansetzt, wo die Diskussion in diesem Forum endet:
![[]](/images/popup.gif) Diskussion in OnlineMathe
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Hallo Windbeutel,
hier noch eine Tube Senf.
> Dies ist eine Gleichung, mit deren Hilfe eine vollstandige
> Induktion bewiesen werden soll.
> [mm]\bruch{2^k+(-1)^{k+2}}{3*2^{k-1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2^{k-2}+(-1)^{k-1}}{3*2^{k-3}}][/mm]
Wie rmix22 zu Recht feststellt, muss auf der linken Seite der Gleichung der Exponent der (-1) nicht k+2, sondern k+1 sein. Dann stimmts.
Da Du aber im folgenden nur die rechte Seite umformst, ist das für Deine Frage nicht erheblich (wohl aber für die zu zeigende Gleichheit).
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem mit dieser Gleichung, bei der ich
> immer wieder an einem bestiemten Punkt hängen bleibe.
>
> Die Daten habe ich mehrfach kontroliert, aber so wie sie
> hier stehen sind sie tatsächlich richtig.
>
> Nun vermute ich, dass mir irgendwelche Umformungsregeln
> unbekannt sind und hoffe hier Hilfe zu finden.
>
> [mm]\bruch{2^k+(-1)^{k+2}}{3*2^{k-1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2^{k-2}+(-1)^{k-1}}{3*2^{k-3}}][/mm]
>
> Auf der rechten Seite der Gleichung würde ich einen
> gemeinsammen HN suchen. Meine Idee wäre einfach, den
> letzten Bruch dort mit [mm]\bruch{2}{2}[/mm] zu multiplizieren.
>
> Dann erreiche ich
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2*2^{k-2}+2*(-1)^{k-1}}{3*2*2^{k-3}}][/mm]
>
> Was mir erlaubt den Nenner 3*2*2^(k-3) umzuformen zu
> 3*2^(k-2).
>
> Damit komme ich auf
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2*2^{k-2}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-2}}][/mm]
>
> Nun würde ich [mm]2(2^{k-2})[/mm] im Zähler umformen zu [mm]2^{k-1}.[/mm]
> Dann bekomme ich
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+(-1)^k}{3*2^{k-2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2^{k-1}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-2}}][/mm]
>
> Dann stelle ich wegen der Übersichtlichkeit den Zähler
> etwas um
>
> [mm]=\bruch{1}{2}[\bruch{2^{k-1}+2^{k-1}+ (-1)^{k}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-2}}][/mm]
Soweit gut, ab jetzt gehts schief.
> Nun nutze ich die Möglichkeit den Nenner zu kürzen und
> erhalte
>
> [mm]=\bruch{1}{2}[\bruch{2*2^{k}+ (-1)^{k}+2*(-1)^{k-1}}{3*2^{k-1}}][/mm]
>
> Bin ich bis hierher richtig?
Nein. Rechne das nochmal nach.
Am einfachsten ist es, die 2 im Nenner (vom vorweg stehenden [mm] \tfrac{1}{2}) [/mm] einfach in den Hauptnenner zu multiplizieren, dann hast Du schon den gesuchten Nenner der linken Seite. Es bleibt also nur die Gleichheit des Zählers zu zeigen:
[mm] \blue{2^{k}+(-1)^{k+1}}=2^{k-1}+2^{k-1}+(-1)^k+2*(-1)^{k-1}
[/mm]
Der blaue Teil ist der Zähler der ursprünglichen linken Seite, die rechte Seite entspricht Deiner bisherigen Umformung.
Zum weiteren Zusammenfassen genügt es auszuklammern:
[mm] \cdots=2*2^{k-1}+(-1)*(-1)^{k-1}+2*(-1)^{k-1}=2^k+(-1+2)*(-1)^{k-1}=\cdots
[/mm]
Jetzt klarer?
Grüße
reverend
> Nun sieht der erste Teil des Zählers und der Nenner schon
> ganz gut aus, aber an [mm](-1)^{k}+2*(-1)^{k-1}[/mm] beiße ich mir
> nun schon seit einiger Zeit die Zähne aus.
>
> Ich bin wirklich noch am verzweifeln mit dieser Gleichung
> und wäre daher sehr dankbar, wenn mir jemand mit dem
> nächsten Schritt hilft bzw bisher begangene Fehler
> aufzeigt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Mi 22.07.2015 | | Autor: | Windbeutel |
Danke für eure Hilfe,
entschuldigung, es hat sich herausgestellt, das ich da tatsächlich einen Fehler im Exponenten der rechten Gleichungsseite habe.
Mein Fehler lag wohl darin, dass ich die ganze Zeit falsch mit dem nenner umgegangen bin.
Danke für eure Hilfe.
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