Gleichung in zwei Variablen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Mi 04.01.2006 | | Autor: | TimBuktu |
Guten Tach; Ich habe versucht herauszufinden, in welchem Bereich die reellwertige Funktion [mm] f(x)=x^{3}-x^{2} [/mm] nicht injektiv ist. Das lässt sich relativ leicht lösen, wenn man die Hoch- und Tiefpunkte betrachtet. Schöner wärs aber, wenn man das direkt mit der Gleichung rauskriegen könnte. Wann gilt also: [mm] a^{3}-a^{2}=b^{3}-b^{2}? [/mm] Ich habe das etwas vereinfacht, komme aber nicht mehr weiter. [mm] a^{3}-b^{3}+b^{2}-a^{2}=0 \gdw (a-b)(a^{2}+ab+b^{2}-a-b)=0. [/mm] Fallen irgendjemand hierzu Möglichkeiten ein weiterzumachen? Vielen Dank
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Hallo,
du brauchst doch, um zu zeigen, dass f nicht injektiv ist, nur einen y-Wert zu finden, auf den zwei verschiedene x-Werte abbilden. Und das ist doch in diesem Fall nicht schwer. 0 und -1 bilden sicher auf die 0 ab.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 Do 05.01.2006 | | Autor: | TimBuktu |
Ja schon klar, das hatte ich ja gesagt, dass das mit der Injektivität kein Problem ist. Sorry, vielleicht hätte ich die Frage anders stellen sollen. Eigentlich gings mir im Endeffekt darum wie man die angegebene Gleichung lösen kann. Vielleicht hat ja noch jemand eine Idee. Vielen Dank Daniel.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
So, du hast also $(a - b) [mm] (a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2 [/mm] - a - b - a b) = 0$, und du willst wissen wie man alle Loesungen $(a, b) [mm] \in \IR^2$ [/mm] bestimmt. Einmal sind natuerlich alle $(a, b)$ mit $a = b$ eine Loesung (das wusstest du ja schon :) ).
Angenommen, $(a, b)$ ist eine Loesung mit $a [mm] \neq [/mm] b$. Dann muss [mm] $a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2 [/mm] - a - b - a b = 0$ gelten. Dies kannst du nun als quadratische Gleichung in $a$ auffassen: [mm] $a^2 [/mm] + a (b - 1) + (b (b - 1)) = 0$. Jetzt kannst du natuerlich alle $a$, die diese Gleichung erfuellen, in Abhaengigkeit von $b$ angeben. Und du kannst angeben zu welchem $b$ es ueberhaupt solche $a$ gibt (Diskriminante [mm] $\ge [/mm] 0$).
Beantwortet das deine Frage?
LG Felix
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