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Gleichung komplexer Zahlen: Lösung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Fr 09.12.2005
Autor: sunshinenight

Hallo, habe Probleme mit dem Lösen von drei komplexen Gleichungen

a) z³+2z²+4z=0

hier habe ich noch alle Lösungen, wenn sie denn stimmen
[mm] z_{1}=0 [/mm] ; [mm] z_{2}=-1+\wurzel{3} [/mm] ; [mm] z_{3}=-1-\wurzel{3} [/mm]

b) [mm] z²-2(1-\wurzel{3}i)z-4\wurzel{3}i=0 [/mm]

bin erstmal mit der Lösungsformel rangegangen.
[mm] z_{1/2}=1-\wurzel{3}i \pm \wurzel{-2+2\wurzel{3}i} [/mm]
hier komme ich nicht weiter bzw weiss auch gar nicht, ob das richtig ist.

c) [mm] z^{6}+2z³+1=0 [/mm]

hier wäre ich dankbar, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte!

mfg sunshinenight

        
Bezug
Gleichung komplexer Zahlen: Korrekturen + Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Fr 09.12.2005
Autor: Roadrunner

Hallo sunshinenight!


> a) z³+2z²+4z=0
>  
> hier habe ich noch alle Lösungen, wenn sie denn stimmen
> [mm]z_{1}=0[/mm] ; [mm]z_{2}=-1+\wurzel{3}[/mm] ; [mm]z_{3}=-1-\wurzel{3}[/mm]

Hier hast Du Dich aber nur vertippt, oder?

[mm] $z_2 [/mm] \ = \ [mm] -1+\red{i}*\wurzel{3}$ [/mm]

[mm] $z_3 [/mm] \ = \ [mm] -1-\red{i}*\wurzel{3}$ [/mm]



> b) [mm]z²-2(1-\wurzel{3}i)z-4\wurzel{3}i=0[/mm]
>  
> bin erstmal mit der Lösungsformel rangegangen.
> [mm]z_{1/2}=1-\wurzel{3}i \pm \wurzel{-2+2\wurzel{3}i}[/mm]
> hier komme ich nicht weiter bzw weiss auch gar nicht, ob das
> richtig ist.

[ok] Das ist soweit richtig.

Tipp:

[mm] $\wurzel{-2+2\wurzel{3}i} [/mm] \ = \ [mm] \left(-2+2\wurzel{3}i\right)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \left(4*e^{i*120°}\right)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \left[4*\left(\cos(120°)+i*\sin(120°)\right)\right]^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ ...$

Nun weiter mit der []Moivre-Formel ...


  

> c) [mm]z^{6}+2z³+1=0[/mm]

Substituiere: $t \ := \ [mm] z^3$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Gleichung komplexer Zahlen: Korrektur + Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Fr 09.12.2005
Autor: sunshinenight

ja bei a) hatte ich das i vergessen im Eifer des Gefechts :-)

für b) habe ich dank deiner Hilfe die Lösungen
[mm] z_{1}=2 [/mm] und
[mm] z_{2}=-2\wurzel{3}i [/mm]

c) habe ich auch noch fix durchgerechnet und für t=-1
wenn ich mich mit dem Minus jetzt nicht vertan habe, dann erhält man
[mm] z_{0}=-1 [/mm]
[mm] z_{1}=\bruch{1}{2}(1-\wurzel{3}i) [/mm]
[mm] z_{2}=\bruch{1}{2}(1+\wurzel{3}i) [/mm]

Rückfrage meine ich jetzt hier nur damit, dass ich gern wissen würde, ob die Ergebnisse stimmen.

@Roadrunner vielen Dank für deine Hilfe

mfg sunshinenight

Bezug
                        
Bezug
Gleichung komplexer Zahlen: Congrats!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Fr 09.12.2005
Autor: banachella

Hallo!

> für b) habe ich dank deiner Hilfe die Lösungen
>  [mm]z_{1}=2[/mm] und
>  [mm]z_{2}=-2\wurzel{3}i[/mm]

[daumenhoch]
  

> c) habe ich auch noch fix durchgerechnet und für t=-1
>  wenn ich mich mit dem Minus jetzt nicht vertan habe, dann
> erhält man
>  [mm]z_{0}=-1[/mm]
>  [mm]z_{1}=\bruch{1}{2}(1-\wurzel{3}i)[/mm]
>  [mm]z_{2}=\bruch{1}{2}(1+\wurzel{3}i)[/mm]

[daumenhoch]

Stimmt alles!

Gruß, banachella


Bezug
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