Gleichung komplexer Zahlen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Lila2222 |
| Aufgabe | Gibt es eine reelle Zahl a, so dass die folgende Gleichung reelle Lösungen hat?
Die Gleichung lautet: iz²+az+1=0 |
Hallo:)
Ich habe ein Problem mit der genannten Aufgabe.
Mir fehlt ein wirklicher Ansatz. Eine Idee von mir wäre noch mit Hilfe der quadratischen Ergänzung an die ganze Sache heran zu gehen. Aber das bringt mich auch nicht wirklich weiter. Ich wäre über Hilfe und/oder einen Hinweis sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Lila2222,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gibt es eine reelle Zahl a, so dass die folgende Gleichung
> reelle Lösungen hat?
>
> Die Gleichung lautet: iz²+az+1=0
> Hallo:)
>
> Ich habe ein Problem mit der genannten Aufgabe.
>
> Mir fehlt ein wirklicher Ansatz. Eine Idee von mir wäre
> noch mit Hilfe der quadratischen Ergänzung an die ganze
> Sache heran zu gehen. Aber das bringt mich auch nicht
> wirklich weiter. Ich wäre über Hilfe und/oder einen
> Hinweis sehr dankbar.
>
Löse die quadratische Gleichung nach z auf,
und prüfe dann, für welche reelle a die Lösungen
ebenfalls reell sind.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 Sa 16.04.2011 | | Autor: | Lila2222 |
Danke schon mal für den Tipp. Aber genau dieses Auflösen nach z bereitet mir Probleme.
Ich habe jetzt wie folgt angefangen:
iz²+az= -1
iz²+az= i²
Nun habe ich überlegt, obes sinnvoll ist mit i zu erweitern, um das i vor der dem z² wegzukriegen, aber ich bezweifel stark, dass das der richtige Weg ist.
Die Gleichung würde dann so aussehen:
i²z²+aiz= i²
Das kann nicht richtig sein, aber ich hab da ne echte Blockade wie es weiter gehen soll.
|
|
|
| |
|
> Gibt es eine reelle Zahl a, so dass die folgende Gleichung
> reelle Lösungen hat?
>
> Die Gleichung lautet: iz²+az+1=0
> Hallo:)
>
> Ich habe ein Problem mit der genannten Aufgabe.
>
> Mir fehlt ein wirklicher Ansatz. Eine Idee von mir wäre
> noch mit Hilfe der quadratischen Ergänzung an die ganze
> Sache heran zu gehen. Aber das bringt mich auch nicht
> wirklich weiter. Ich wäre über Hilfe und/oder einen
> Hinweis sehr dankbar.
Hallo Lila2222,
nehmen wir mal an, wir hätten zwei reelle Zahlen a und z,
welche die Gleichung erfüllen. Dann betrachten wir
$\ [mm] \underbrace{a*z+1}_{u}\ [/mm] +\ [mm] i*\underbrace{z^2}_{v}\ [/mm] =\ 0\ =\ \ 0+i*0$
Was lässt sich dann über die Werte von u und v und dann
über die von z und a aussagen ?
(Zeige, dass die Annahme auf einen Widerspruch führt !)
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Mo 18.04.2011 | | Autor: | Lila2222 |
Ist dann die Antwort, dass es keine reele Lösung gibt für die Gleichung, da wir ja +1 in der Gleichung haben und deshalb das Ergebnis nicht 0 sein kann??
Hm...ich glaube ich verstehe deinen Hinweis nicht wirklich. Und meien Antwort erscheint mir auch nicht als die Richtige. Könntest du vielleicht noch etwas konkreter angeben, worauf du hinaus willst? Das wäre super.
|
|
|
| |
|
Hallo Lila2222,
> Ist dann die Antwort, dass es keine reele Lösung gibt für
> die Gleichung, da wir ja +1 in der Gleichung haben und
> deshalb das Ergebnis nicht 0 sein kann??
>
> Hm...ich glaube ich verstehe deinen Hinweis nicht wirklich.
> Und meien Antwort erscheint mir auch nicht als die
> Richtige. Könntest du vielleicht noch etwas konkreter
> angeben, worauf du hinaus willst? Das wäre super.
Also, wir hatten:
$ \ [mm] \underbrace{a\cdot{}z+1}_{u}\ [/mm] +\ [mm] i\cdot{}\underbrace{z^2}_{v}\ [/mm] =\ 0\ =\ \ [mm] 0+i\cdot{}0 [/mm] $
Wenn wir annehmen, je einen reellen Wert für $\ a$ und $\ z$
zu haben, dann folgt:
erstens: $\ u=a*z+1$ ist auch reell
zweitens: $\ [mm] v=z^2$ [/mm] ist ebenfalls reell
Dann folgt: wenn $\ u+i*v$ (mit reellen $\ u$ und $\ v$) gleich $\ 0$ ist,
so ist dies nur möglich, wenn $\ u=0$ und $\ v=0$ ist.
Aus $\ [mm] v=z^2=0$ [/mm] folgt natürlich, dass $\ z$ selbst gleich $\ 0$ sein muss.
Setzt man dieses Ergebnis in die Gleichung $\ u=a*z+1$ ein,
folgt $\ u=a*0+1=0+1=1$ .
Dieses Ergebnis widerspricht aber der vorher gefundenen
Erkenntnis, dass $\ u=0$ sein muss. Dies bedeutet, dass die
Annahme, dass reelle Zahlen $\ a$ und $\ z$ die obige Gleichung
erfüllen könnten, falsch war. Es kann also keine reelle Zahl
$\ a$ geben mit der Eigenschaft, dass dann die Gleichung
$\ [mm] i*z²+a\,z+1\ [/mm] =\ 0$
auch nur eine (geschweige denn 2) reelle Lösung(en) für $\ z$ hätte.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Di 19.04.2011 | | Autor: | Lila2222 |
Vielen Dank.
Jetzt habe ich es verstanden!!!
:)
|
|
|
|
