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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Denni |
| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung a*(x+b) = c*(1-bx)
Geben Sie an, unter welchen Bedingungen für a, b und c keine, eine bzw. unendlich viele Lösungen existieren. |
Diese Aufgabe habe ich schon in mehreren Foren gefunden, aber die Ideen dazu haben mir leider nicht weitergeholfen.
Mein Lösungsansatz ist:
a(x+b) =c(1-bx) | -c(1-bx)
a(x+b) - c(1-bx) = 0
ax + ab - c + cbx = 0
x(a+cb) + ab - c = 0 | -ab | +c
x(a+cb) = c - ab | geteilt durch (a + cb)
x = (c - ab) / (a+cb)
um vielleicht erstmal x zu haben!?
Mein Problem ist dass ich nicht weiß wie ich die Bedingungen für a, b und c in Bezug auf die Lösungen handhaben soll .
Ich hatte auch etwas von Fallunterscheidungen gelesen, weiß aber nicht wie ich das anstellen soll.
Ich hoffe mir kann jemand helfen!!!
Denni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Lösen Sie die Gleichung a*(x+b) = c*(1-bx)
> Geben Sie an, unter welchen Bedingungen für a, b und c
> keine, eine bzw. unendlich viele Lösungen existieren.
> Diese Aufgabe habe ich schon in mehreren Foren gefunden,
> aber die Ideen dazu haben mir leider nicht weitergeholfen.
> Mein Lösungsansatz ist:
>
> a(x+b) =c(1-bx) | -c(1-bx)
> a(x+b) - c(1-bx) = 0
> ax + ab - c + cbx = 0
> x(a+cb) + ab - c = 0 | -ab | +c
> x(a+cb) = c - ab | geteilt durch (a + cb)
> x = (c - ab) / (a+cb)
>
> um vielleicht erstmal x zu haben!?
>
> Mein Problem ist dass ich nicht weiß wie ich die
> Bedingungen für a, b und c in Bezug auf die Lösungen
> handhaben soll .
> Ich hatte auch etwas von Fallunterscheidungen gelesen,
> weiß aber nicht wie ich das anstellen soll.
Hallo Denni,
deine Umformungen sind alle richtig.
In der vorletzten Zeile halten wir mal an und schauen genauer hin:
[mm] x\cdot{}(a+cb)=c-ab [/mm]
Hier hast du durch a+cb geteilt. Dies ist aber doch nur möglich, wenn [mm] a+cb\ne0 [/mm] ist.
Das ist der 1.Fall der Fallunterscheidung.
Wenn [mm] a+cb\ne0 [/mm] ist, dann hast du richtig berechnet, dass die [mm] x=\bruch{c-ab}{a+cb} [/mm] die [mm] \bold{eindeutige} [/mm] Lösung der Gleichung ist.
Da bleibt dann noch der 2.Fall: Was ist, wenn a+cb=0 ist?
Nun dann ist die Gleichung x(a+cb)=c-ab [mm] \gdw x\cdot{}0=c-ab \gdw [/mm] 0=c-ab
Nun müssen wir uns das genauer ansehen:
Fall 2A) Was ist, wenn [mm] c-ab\ne0 [/mm] ist?
Dann steht da 0=irgendwas, das [mm] \ne0 [/mm] ist.
In diesem Fall gibt es also [mm] \bold{keine} [/mm] Lösung
Fall 2B) Was ist, wenn c-ab=0 ist?
Dann steht da 0=0, und das ist eine wahre Aussage, die nicht von x abhängt - es steht ja kein x drin 
In diesem Fall gibt es also [mm] \bold{unendlichviele} [/mm] Lösungen
Lieben Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Denni |
Danke schachuzipus für die Zeit die du dir genommen hast!
Hast mir echt sehr geholfen, ich habe es nach mehrmaligem Lesen verstanden denke ich 
Denni
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Hallo nochmal,
vielleicht noch ein Tipp zu Fallunterscheidungen:
Bis zum vorletzten Schritt hast du nur Umformungen gemacht, die die Lösungsmenge der Gleichung nicht verändern, dh die Lösung(en), die die erste Gleichung erfüllt/erfüllen, erfüllt/erfüllen auch die vorletzte.
Von der vorletzten zur letzten Zeile hast du dann eine Umformung gemacht, die nicht uneingeschränkt die Lösungsmenge nicht verändert - haben wir oben besprochen.
Nimm zB mal die Gleichung 2x=4
Machen wir die Umformung [mm] \cdot{}\bruch{1}{2} [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung, so erhalten wir x=2 als [mm] \bold{eindeutige} [/mm] Lösung.
Machen wir aber mal eine "verbotene" Umformung, multiplizieren wir beide Seiten mal mit 0
Dann wird aus 2x=4
0=0
Hier ist also die Lösungsmenge gewaltig verändert, denn 0=0 gilt für alle [mm] x\in\IR, [/mm] aber 2x=4 eben nur genau für x=2.
Des weiteren muss man sich überlegen, ob es eine Umformung gibt, die zu 0=irgendwas [mm] \ne0 [/mm] führt, meinetwegen zu 0=4.
In solch einem Falle gibt es keine Lösung für die Gleichung, denn für kein x der Welt gilt 0=4
Das sind so die Dinge, die man bei einer Fallunterscheidung bedenken sollte.
Ich hoffe, ich konnte dir das etwas näher bringen - falls überhaupt noch Bedarf bestand
cu
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Denni |
danke schachuzipus!
Du hast es mir deutlich nähergebracht.
Bedarf ist bei mir immer da, ich muss den Stoff ja zumindest für die nächsten Jahre noch relativ gut draufhaben
Denni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Ibrahim |
hallo Denni
hast du geteilt durch (a+cb) du muss wissen durfen wir nicht durch null teilen dann:
wenn a+cb=0 haben wir keine lösung
wenn a+cb [mm] \not= [/mm] 0 und c-ab = 0 dann haben wir unendliche lösungen
wenn a+cb [mm] \not= [/mm] 0 und c-ab [mm] \not=0 [/mm] dann haben wir ein lösung
ich hoffe dass ich dir geholfenhabe
ciao
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