Gleichung mit Betrag < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen sie in [mm] \IR [/mm] :
|x+1| = |x-1| |
Hi!
Also mit Fallunterscheidung krieg ich das hin (L={0}), ich frage mich allerdings ob das auch wie folgt funktioniert:
Der Betrag von x ist ja auch [mm] |x|=\wurzel[2]{x²}
[/mm]
|x+1| = |x-1|
[mm] \wurzel[2]{(x+1)^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{(x-1)^{2}}
[/mm]
(x+1)² = (x-1)²
x²+2x+1 = x²-2x+1
4x=0
x=0
Ich komme ja auf dieselbe Lösung..?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Lösen sie in [mm]\IR[/mm] :
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> |x+1| = |x-1|
> Hi!
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> Also mit Fallunterscheidung krieg ich das hin (L={0}), ich
> frage mich allerdings ob das auch wie folgt funktioniert:
>
> Der Betrag von x ist ja auch [mm]|x|=\wurzel[2]{x²}[/mm]
>
> |x+1| = |x-1|
> [mm]\wurzel[2]{(x+1)^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{(x-1)^{2}}[/mm]
> (x+1)² = (x-1)²
> x²+2x+1 = x²-2x+1
> 4x=0
> x=0
>
> Ich komme ja auf dieselbe Lösung..?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Dieser alternative Lösungsweg ist natürlich
ebenfalls absolut in Ordnung !
LG Al-Chw.
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funktioniert diese Methode denn auch bei Ungleichungen mit Betrag? ich denke Ja, oder?
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> funktioniert diese Methode denn auch bei Ungleichungen mit
> Betrag? ich denke Ja, oder?
Du denkst sicher an Beispiele wie etwa
|x+5|<|2-2x|
Da die Quadratfunktion für nichtnegative Argumente
streng monoton steigend ist, sollte dies ohne weiteres
möglich sein. Man erspart sich dadurch den "Kampf"
mit den Fallunterscheidungen.
Ich schlage dir vor, einmal beide Wege auszuprobieren,
gerade an diesem Beispiel. Dann kannst du selber ent-
scheiden, was angenehmer ist.
LG Al-Chw.
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Hallo nochmal!
Ich bin gerade noch auf ein anderes Beispiel gestoßen, bevor ich deinen Beitrag gelesen habe:
|x| <= x-2
Mit der Fallunterscheidung ergibt sich eine leere Lösungsmenge, mit der "Quadratmethode" aber nicht:
|x| <= x-2
Wurzel(x²) <= x-2
x² <= (x-2)²
0 <= (x-2)²-x²
0 <= ((x-2)+x) * ((x-2)-x)
0 <= (2x-2) * (-2)
0 <= (-x+1)*4
0 <= -x+1
x <= 1
Ich habs drei Mal nachgerechnet, das Ergebnis bleibt. Wo ist mein Fehler? :(
ERGÄNZUNG:
2x-8>|x| liefert mit beiden Methoden das richtige Ergebnis: x>8
Liegt das vllt daran ob es eine schwache oder starke Ungleichung ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Do 29.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung !!
Was Du gemacht hast , war das folgende:
Wenn |x| [mm] \le [/mm] x-2, dann ist notwendigerweise x [mm] \le [/mm] 1
Das Umgekehrte ist aber nicht richtig ! Das siehst Du z.B: bei x = 1 oder x = 0 oder x = -234.
Hier ist es so: die Ungleichung |x| [mm] \le [/mm] x-2 wird von keinem x [mm] \in \IR [/mm] erfüllt !
Das kann man so einsehen: Annahme: für ein x [mm] \in \IR [/mm] gilt |x| [mm] \le [/mm] x-2 . Wegen x [mm] \le [/mm] |x| folgt
x [mm] \le [/mm] x-2, also 0 [mm] \le [/mm] -2, Widerspruch !
Ein weiterer Weg das zu sehen ginge mit Fallunterscheidung:
Fall 1 : x [mm] \ge [/mm] 0. Dann : |x| [mm] \le [/mm] x-2 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] x-2 [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] -2
Kein x [mm] \ge [/mm] 0 erfüllt also obige Ungl.
Fall 2: x<0. |x| [mm] \le [/mm] x-2 [mm] \gdw [/mm] -x [mm] \le [/mm] x-2 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1, Widerspruch !
FRED
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> Ich bin gerade noch auf ein anderes Beispiel gestoßen,
> bevor ich deinen Beitrag gelesen habe:
>
> |x| <= x-2
>
> Mit der Fallunterscheidung ergibt sich eine leere
> Lösungsmenge, mit der "Quadratmethode" aber nicht:
>
> |x| <= x-2
> Wurzel(x²) <= x-2
> x² <= (x-2)²
> 0 <= (x-2)²-x²
> 0 <= ((x-2)+x) * ((x-2)-x)
> 0 <= (2x-2) * (-2)
> 0 <= (-x+1)*4
> 0 <= -x+1
> x <= 1
>
> Ich habs drei Mal nachgerechnet, das Ergebnis bleibt. Wo
> ist mein Fehler? :(
Dein Beispiel ist nicht von der Art wie wir es
vorher hatten !
Die "Quadratmethode" funktioniert bei Ungleichungen
der Form
|A|<|B| |A|>|B| [mm] $|A|\le|B|$ $|A|\ge|B|$
[/mm]
wo auf beiden Seiten Beträge stehen !
LG Al-Chw.
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Ok, danke euch beiden. Eine letzte Frage:
Bei |x| <= x-2 (dem Bsp von oben) klappt das also nicht.
Wie ist das dann mit 2x-8 > |x| ?
Da liefern beide Methoden das richtige Ergebnis: x>8
Das ist in dem Fall dann wohl eher ein Zufall, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Do 29.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Hier würde ich so vorgehen: 2x-8 > |x| [mm] \Rightarrow [/mm] 2x > |x|+8 , also ist x>0
Dann: 2x-8 > |x| [mm] \Rightarrow [/mm] 2x > x+8 [mm] \Rightarrow [/mm] x> 8
Und umgekehrt: aus x>8 folgt 2x-8 >x = |x|
FRED
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