Gleichung mit Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Mo 11.01.2010 | | Autor: | pitmat |
| Aufgabe | | Für welche Primzahlen p hat die Gleichung [mm] x^3 [/mm] = 1 modulo p in Z/p eine Lösung, wobei x ungleich 1 modulo p ist? |
Ich habe zunächst ausprobiert und bin bisher auf ganz viele Primzahlen gekommen: 2, 3, 5, 7, 13, 19 ...
Aber irgendwie fällt mir bei dieser Aufgabe gar nicht ein, wie man das logisch anfangen kann. Kann mir jemand einen Tipp geben und vielleicht einen Satz oder eine Formel nennen, die bei der Lösung hilfreich sein könnte? Danke! :)
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Hallo pitmat,
> Für welche Primzahlen p hat die Gleichung [mm]x^3[/mm] = 1 modulo p
> in Z/p eine Lösung, wobei x ungleich 1 modulo p ist?
> Ich habe zunächst ausprobiert und bin bisher auf ganz
> viele Primzahlen gekommen: 2, 3, 5, 7, 13, 19 ...
Da musst Du irgendwas falsch probiert haben. Es war doch gefordert, dass [mm] x\not=1 \mod{p} [/mm] sein sollte!
Für 2,3,5 geht das aber nicht.
7,13 und 19 sind dagegen richtig, wie auch alle anderen [mm] p\equiv 1\mod{3}.
[/mm]
Frag mal Herrn Euler, ob er Dir hilft, das zu zeigen. Wahrscheinlich schafft er das zwar auch nicht allein, aber zusammen kriegt Ihr das schon hin.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Mo 11.01.2010 | | Autor: | pitmat |
oh, danke, da habe ich wohl wirklich was falsch gemacht beim Probieren! ich werde mich dann jetzt noch mal damit beschäftigen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Mo 11.01.2010 | | Autor: | pitmat |
Danke, das war sehr hilfreich und dann ja ganz einfach! Allerdings komme ich gerade mit einer anderen Aufgabe nicht klar - schreibe das auch noch mal extra auf, langsam hab ich das Gefühl ich schreibe hier zuviel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Mo 11.01.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
schreib ruhig. Du wirst merken, wenn eine Mehrheit findet, dass es zuviel wird. Im Moment deutet überhaupt nichts darauf hin, dass das irgendjemand denkt.
Also: nächste Frage, bitte... 
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Sa 16.01.2010 | | Autor: | pitmat |
| Aufgabe | Warum ist die Gleichung x³ = 1 mod p nur mit p = 1 mod p lösbar?
x ist ungleich 1 mod p ist Bedingung. |
Ich dachte, ich hätte das gelöst, habe aber einen Fehler gemacht und stelle fest, dass ich das doch gar nicht kann. :( Kann mir hier noch jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Sa 16.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Warum ist die Gleichung x³ = 1 mod p nur mit p = 1 mod p
> lösbar?
> x ist ungleich 1 mod p ist Bedingung.
> Ich dachte, ich hätte das gelöst, habe aber einen Fehler
> gemacht und stelle fest, dass ich das doch gar nicht kann.
> :( Kann mir hier noch jemand helfen?
Verrat uns doch mal was du bisher so gemacht hast.
LG Felix
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Hallo pitmat,
nimm mal x=2, p=7. Oder x=3, p=13. Oder x=7, p=19 ...
Woher hast Du denn Deine (falsche) Folgerung?
lg
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:46 So 17.01.2010 | | Autor: | pitmat |
Das falsche Folgern war nur, weil ich mich verrechnet hatte. Das es mit p = 1 mod 3 geht, sehe ich nun ein - durch Probieren.
Ich hatte dann versucht, zu widerlegen,d ass p = 0 mod 3 sein kann (klar, wär nicht prim) und p ungleich 2 mod 3.
Wenn p = 2 mod 3, dann ist p = 2 + 3a, a aus N.
Man weiß, dass [mm] x^{p-1} [/mm] = 1 mod p (wegen Fermat),
dann wäre [mm] x^{1+3a} [/mm] = x * x^3a = 1 mod p
An dieser Stelle habe ich irgendwie ganz komisch gedacht und kann das nicht mehr verstehen. Kann man mit dem Ansatz weitermachen oder wie geht es sonst?
Und wie kann man dann zeigen, dass p = 1 + 3a sein muss?
Ich dachte dann, x^3a = 1 mod p und das findet man, wenn man für x in der Originalgleichung [mm] x^a [/mm] einsetzt - aber hier Problem: [mm] x^a [/mm] darf ja nicht 1 mod p sein nach Voraussetzung, wie zeigt man, dass es das nicht ist?
danke für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 19.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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