Gleichung mit mehreren Variablen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mi 10.03.2004 | | Autor: | Josef |
Wie kann man folgendes Gleichungssystem lösen?
A: [mm]\bruch{x-y}{3\wurzel{x}-3\wurzel{y}}[/mm] = 3
B: [mm]\wurzel{\bruch{xy}{4}}[/mm] = 10
Lösung =
[mm]x_1[/mm] = 25
[mm]x_2[/mm] = 16
[mm]y_1[/mm] = 16
[mm]y_2[/mm] = 25
Mein Ansatz:
Bei Gleichung A Nenner beseitigen.
Gleichung B quadrieren.
A: x-y = 3(3[mm]\wurzel{x}[/mm]-3[mm]\wurzel{y}[/mm])
B:[mm] \bruch{xy}{4}[/mm] = 100
A: x-y = 9[mm]\wurzel{x}[/mm]-9[mm]\wurzel{y}[/mm]
B: xy = 400
jetzt kann ich Gleichung B noch durch y dividieren.
A: x-y = 9[mm]\wurzel{x}[/mm]-9[mm]\wurzel{y}[/mm]
B: x = [mm]\bruch{400}{y}[/mm]
Gleichung B in Gleichung A einsetzen:
[mm]\bruch{400}{y}[/mm]-y = 9[mm]\wurzel{\bruch{400}{y}}[/mm]-9[mm]\wurzel{y}[/mm]
Wie rechne ich weiter? Beim weiteren Quadrieren verliere ich den Überblick.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mi 10.03.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Josef,
Deine Rechnungen soweit waren zwar richtig, machen die Lösung aber schwieriger als es sein müsste.
Fangen wir nochmal mit
A: [mm]\bruch{x-y}{3\wurzel{x}-3\wurzel{y}} = 3[/mm]
B: [mm]\wurzel{\bruch{xy}{4}} = 10[/mm]
an.
Gleichung A ist ein guter Kandidat für die 3. Binomische Formel, denn aus
[mm]\bruch{x-y}{3\wurzel{x}-3\wurzel{y}} = 3[/mm] folgt
[mm]\bruch{(\wurzel{x}-\wurzel{y})(\wurzel{x}+\wurzel{y})}{\wurzel{x}-\wurzel{y}} = 9[/mm] und somit
[mm]\wurzel{x}+\wurzel{y} = 9[/mm].
Auch in Gleichung lassen wir erst einmal die Wurzel stehen, aus
[mm]\wurzel{\bruch{xy}{4}} = 10[/mm] folgt dann
[mm]\bruch{\wurzel{x}\wurzel{y}}{\wurzel{4}} = 10[/mm] und somit
[mm]\wurzel{x}\wurzel{y}} = 20[/mm]
Jetzt probier' mal (wie Du es vorher auch schon machen wolltest) die zweite Gleichung in die erste einzusetzen ... Du wirst sehen es wird einfacher gehen. Du kommst dann ziemlich schnell auf eine quadratische Gleichung, die Du anschließend mit der pq-Formel lösen kannst.
Sag' mal Bescheid, ob es geklappt hat und poste hier bitte die noch fehlenden Schritte, dann schauen wir drüber.
Viel Erfolg
Oliver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mi 10.03.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo Oliver,
ich erkenne nicht die 3. Binomische Formel.
Mir fällt es leichter, die erste Gleichung in die zweite Gleichung einzusetzen.
Der weitere Rechenweg ist mir klar.
[mm]\wurzel{x}[/mm] = 9 - [mm]\wurzel{y}[/mm]
(9 - [mm]\wurzel{y}[/mm])* [mm]\wurzel{y}[/mm]= 20
81y = 400+40y+y²
y²-41y+400 = 0
[mm] y_1 [/mm] = 25
[mm] y_2 [/mm] = -16
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mi 10.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Josef,
> ich erkenne nicht die 3. Binomische Formel.
da gehört auch ein bisschen Übung dazu:
[mm] $x-y=\left(\sqrt{x}\right)^2-\left(\sqrt{y}\right)^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})*(\sqrt{x}+\sqrt{y})$ [/mm]
Das gilt natürlich nur für [mm] $x,y\ge [/mm] 0$, das ist hier aber ja der Fall, da diese Variablen bereits im Ausgangsterm unter Wurzeln stehen.
> Mir fällt es leichter, die erste Gleichung in die zweite
> Gleichung einzusetzen.
Okay, je nach Belieben...
> Der weitere Rechenweg ist mir klar.
>
> [mm]\wurzel{x}[/mm] = 9 - [mm]\wurzel{y}[/mm]
>
> (9 - [mm]\wurzel{y}[/mm])* [mm]\wurzel{y}[/mm]= 20
>
>
> 81y = 400+40y+y²
> y²-41y+400 = 0
> [mm] y_1 [/mm] = 25
> [mm] y_2 [/mm] = -16
Eine negative Lösung für $y$ wäre aus den oben angesprochenen Gründen nicht definiert. Aber du hast --hoffe ich-- nur das Vorzeichen aus Versehen dazugeschrieben. Die  p/q-Formel ergibt ja:
[mm] $y_{1,2}=20{,}5\pm4{,}5 \gdw y_1=25 \;\;\vee\;\; y_2=16$
[/mm]
Bleiben jetzt noch Fragen offen? Falls ja, melde dich einfach wieder.
Alles Gute,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Do 11.03.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo Marc,
Hallo Oliver,
ich habe die Aufgabe noch einmal nachgerechnet. Ich habe es jetzt verstanden.
Vielen Dank für eure Hilfe und für die guten Rechentipps!
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