Gleichung mit z und z* lösen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mi 16.10.2024 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Lösen Sie:
(2 -j)*z + [mm] z^{*} [/mm] -5j = (z [mm] +j)^{*} [/mm] |
Moin Moin,
ich komme gerade bei einer Aufgabe nicht weiter...
(2 -j)*z + [mm] z^{*} [/mm] -5j = (z [mm] +j)^{*}
[/mm]
(z [mm] +j)^{*} [/mm] = z -j richtig?
(2 -j)*z + [mm] z^{*} [/mm] -5j = z -j | - z + j
Ich könnte noch alles auf eine Seite bringen und zusammenfassen...
(2 -j)*z + [mm] z^{*} [/mm] - z -4j = 0
Ich könnte entweder so zusammenfassen
[mm] z^{*} [/mm] -z = -2bj
Keine Ahnung ob das Sinn ergibt?
Ich setze anschliessend für z, a +bj ein:
(2 -j)(a+bj) -2bj -4j = 0
2a + 2bj -aj [mm] -bj^2 [/mm] -2bj - 4j = 0
2a+b -aj -4j = 0
I. 2a + b = 0
II. -a -4 = 0
= > a = -4
= > b = 8
Mithin wäre z = -4 +8j
Falls das so stimmt... gibt es vielleicht noch einen anderen Weg?
???
Danke für eure Hilfe !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Do 17.10.2024 | | Autor: | Infinit |
Hallo hase-hh,
ich gebe hier mal einen Anschub, so wie ich die Sache angehen würde. Dabei nehme ich mal an, dass der hochgestellte Punkt in Deiner Gleichung das Konjugiert-Komplexe des Ausdrucks darstellen soll. Häufig nimmt man dafür einen Überstrich, das ist einfacher zu erkennen. Dummerweise erlaubt Latex nur die Überstreichung eines Parameters und keines Ausdrucks, und so nutze ich hier mal den "Hut". Den kann man nämlich auch über einen mathematischen Teilausdruck ziehen. Unter diesen Annahmen hätten wir folgende Ausgangsgleichung:
[mm] (2-j) \cdot z + \hat{z} - 5j = \widehat{(z+j)} [/mm]
Deine erste Annahme ist leider schon verkehrt, denn das konjugiert-komplexe einer Summe ist das konjugiert-komplexe der Summanden.
[mm] \widehat{(z+j)} = \widehat{(a + jb +j)} = \widehat{(a +j(b+1))} = a -j(b+1) [/mm]
Damit kannst Du jetzt ans Ausmultiplizieren gehen der folgenden Gleichung:
[mm] (2-j) \cdot (a+jb) + a -j(b+5) = a - j(b+1) [/mm]
Daraus bekommst Du dann die Größen für den Realteil und den Imaginärteil der gesuchten kompexen Zahl.
Viel Spaß dabei und rechne in Ruhe, - ich weiß noch aus eigener Erfahrung, dass man sich da schnell mit den Vorzeichen verheddert.
Viel Erfolg wünscht
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Do 17.10.2024 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin!
Anmerkung:
Bei dem "hochgestellten Punkt" handelt es sich um einen Stern, der hier leider ziemlich verkleinert wird... Ja, dies meint eine konjugiert komplexe Zahl.
Also
(2 -j)*z + [mm] z^{*} [/mm] -5j = (z [mm] +j)^{*}
[/mm]
1. Schritt z = a +bj einsetzen
(2 -j)*(a +bj) + (a [mm] +bj)^{*} [/mm] -5j = (a +bj [mm] +j)^{*}
[/mm]
(2 -j)*(a +bj) + (a [mm] +bj)^{*} [/mm] -5j = (a [mm] +(b+1)j)^{*}
[/mm]
2. Schritt Konjugiert komplexe Zahlen bilden
(2 -j)*(a +bj) + a -bj -5j = a -(b+1)j
3. Schritt Zusammenfassen
2a +2bj -aj [mm] -bj^2 [/mm] +a -bj -5j = a -bj -j
3a +b +bj -aj -5j = a - bj -j | -a +bj +j
2a +b +2bj -aj -4j = 0
4. Schritt da der Term gleich null sein soll, folgt
I. 2a + b = 0
II. 2bj -aj -4j = 0
II. 2b -a -4 = 0
z.B. a = 2b -4
in I. 2*(2b -4) +b = 0
5b - 8 = 0 = > b = 1,6
a = 2*1,6 -4 = -0,8
z = -0,8 + 1,6j
Ist das richtig?
Danke & Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Do 17.10.2024 | | Autor: | fred97 |
> Moin Moin!
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> Anmerkung:
>
> Bei dem "hochgestellten Punkt" handelt es sich um einen
> Stern, der hier leider ziemlich verkleinert wird... Ja,
> dies meint eine konjugiert komplexe Zahl.
>
> Also
>
> (2 -j)*z + [mm]z^{*}[/mm] -5j = (z [mm]+j)^{*}[/mm]
>
>
> 1. Schritt z = a +bj einsetzen
>
> (2 -j)*(a +bj) + (a [mm]+bj)^{*}[/mm] -5j = (a +bj [mm]+j)^{*}[/mm]
>
> (2 -j)*(a +bj) + (a [mm]+bj)^{*}[/mm] -5j = (a [mm]+(b+1)j)^{*}[/mm]
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>
> 2. Schritt Konjugiert komplexe Zahlen bilden
>
> (2 -j)*(a +bj) + a -bj -5j = a -(b+1)j
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>
> 3. Schritt Zusammenfassen
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> 2a +2bj -aj [mm]-bj^2[/mm] +a -bj -5j = a -bj -j
>
> 3a +b +bj -aj -5j = a - bj -j | -a +bj +j
>
>
> 2a +b +2bj -aj -4j = 0
>
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>
> 4. Schritt da der Term gleich null sein soll, folgt
>
> I. 2a + b = 0
> II. 2bj -aj -4j = 0
> II. 2b -a -4 = 0
>
> z.B. a = 2b -4
>
> in I. 2*(2b -4) +b = 0
>
> 5b - 8 = 0 = > b = 1,6
>
> a = 2*1,6 -4 = -0,8
>
>
> z = -0,8 + 1,6j
>
>
> Ist das richtig?
Ich sehe keinen Fehler
Gruß Fred
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> Danke & Gruß
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