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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Do 20.05.2010 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Eine Rennstrecke die sich durch [mm] f1(x)=\bruch{1}{3}(x^{2}-1)(x^{2}-9) [/mm] im Bereich -4<x<+4 soll zwischen den Punkten x1=-2,5 und x2= 2,5 durch einen Variante für Anfänger erweitert werden. Diese Variante soll aus einen Parallelbogen mit f2(x)= [mm] ax^{2}+b [/mm] bestehen, wobei gefordert wird, dass ein glatter Übergang von Kurs 1 zu Kurs 2 erfolgen soll. ( ohne Knick)
a.) Diskutieren Sie den Funktionsverlauf von f1
b.) Ermitteln Sie die Gleichung der Parabel f2. |
Hey,
Aufgabe a.) War kein Problem . Hab die Nullstellen x01=-3 x02=3 x03=-1 x04=1 Extremwerte sind HP (0/3) T1(2,24/-5,33) T2(-2,24/-5,33) sowie die Wendepunkte Wp1(1,29/-1,62) Wp2 (-1.29/-1,62)
b.) Ich hab auch b gelöst weil ich wusste wie das geht aber ich weiß manchmal nicht warum ich das so rechne und hoffe daher das mir das jemanden erklären kann. So kommen wir jetzt zu meinem Rechenweg.
ich hab die oben in der Aufgabenstellung gegebene Funktion erst einmal vereinfacht sprich :
f(x) = [mm] \bruch{1}{3}x^{4}-\bruch{10}{3}x^{2}+3 [/mm]
davon hab ich dann die f´(x) Ableitung aufgestellt und 2,5 bzw. -2,5 eingesetzt. Dabei habe ich dann 4,17 bzw. -4,17 errechnet so die gesuchte Funktion soll ja f(x)=ax²+b lauten davon die f´(x) = 2ax ist. so dann hab ich die y-Koordinaten von (2,5 bzw. -2,5) errechnet in dem ich das in die Ausgangsgleichung gesetzt habe. Dabei habe ich zweimal -4,81 errechnet. So bis hier hin habe ich alles verstanden . Dann habe ich 4,17= 2a+2,5 aufgestellt warum weiß ich nicht wusste nur das das so geht und für a=0,835 errechnet a= ist jadann die Steigung der Funktion. und dann habe ich.
-4,81=0,835*2,5²+b
b= -10,03 errechnet
b ist der Abschnitt auf der y-Achse kann mir einer die letzten beiden Rechenschritt erklären warum man das so aufstellt.
DIE ERGEBNISSE SIND LAUT UNSEREM LEHRER ALLE RICHTIG (hatte diese an die Tafel geschrieben)
Dann hab ich auch noch eine Frage. man könnte die letzten zwei rechenschritte auch mit -2,5 rechnen anstatt mit 2,5 dann ändert sich aber die steigen aus +0,8... wird -0,8... ist das egal oder muss man dabei etwas bestimmtes beachten???
MFG RWBK
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Hallo,
ein paar grundsätzliche Hinweise: 1.rechne wann immer es geht mit gemeinen Brüchen z.B. [mm] \frac{5}{6} [/mm] das ist wesentlich genauer als zu sagen es ist 0,833
2.rechne symbolisch! Du setzt da immer irgendwelche Werte ein, ohne zu sagen was du da eigentlich wo einsetzt! Das ist unübersichtlich, verwirrend und schwer nachvollziehbar! Auch dein lehrer wird dir dankbar sein, wenn du das klar strukturiert aufschreibst.
Zur Aufgabe: die Parabel [mm] f_2(x) [/mm] soll ohne Knick zur Funktion [mm] f_1(x) [/mm] übergehen, d.h. die Anstiege f'(x) sind an den Stellen x = [mm] \pm [/mm] 2,5 bei beiden Funktionen gleich gross.
Also: [mm] f_{1}'(x=2,5) [/mm] = [mm] \frac{25}{6} [/mm] und [mm] f_{1}'(x=-2,5) [/mm] = [mm] -\frac{25}{6}
[/mm]
eine diese Bedingungen nimmst du um dein a auszurechnen!
[mm] f_{2}'(x=-2,5) [/mm] = [mm] f_{1}'(x=2,5) [/mm] = [mm] \frac{25}{6} [/mm] = 2*2,5*a = 5a [mm] \Rightarrow [/mm] a = [mm] \frac{5}{6}
[/mm]
zur Kontrolle kannst du das nochmal mit x=-2,5 ausrechnen, da muss dasselbe a rauskommen.
Jetzt das b ausrechnen: Damit [mm] f_2(x) [/mm] überhaupt aus [mm] f_1(x) [/mm] hervorgehen kann, müssen ja beide die Punkte bei [mm] x=\pm2,5 [/mm] gemeinsam haben. Deswegen hast du den y-Wert errechnet: y = [mm] f_1(x=2,5) [/mm] = [mm] -\frac{77}{16} [/mm] und diesen Wert kannst du jetzt in [mm] f_2(x) [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] + b einsetzen.
[mm] -\frac{77}{16} [/mm] = [mm] \frac{5}{6}*(2,5)^2 [/mm] + b nach b umstellen und du hast deine Parabel bestimmt.
Du kannst das wieder auch mit der Stelle x=-2,5 kontrollieren; natürlich kannst du die Sachen auch mit x=-2,5 ausrechnen, es kommt dasselbe raus. Beachten musst du dabei nur, dass du andere Werte einsetzen musst, denn in diesem Fall ist [mm] f_{2}'(x=2,5) [/mm] = [mm] -f_{2}'(x=-2,5)
[/mm]
Endergebnis: [mm] f_2(x) [/mm] = [mm] \frac{5}{6}x^2 [/mm] - [mm] \frac{481}{48} [/mm] setz mal die Brüche in den Taschenrechner ein und vergleiche die Werte mit denen die du hingeschrieben hast....
Gruß Christian
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