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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Do 15.04.2010 | | Autor: | Skrodde |
| Aufgabe | (1) Was sind die multiplikativen Inversen von 10, 17 und 18 in [mm] \IZ_{37}?
[/mm]
(2)
(a) Bestimmen Sie in [mm] \IZ_{89}\times \IZ_{89} [/mm] alle Lösungen (x,y) der Gleichung 14x+5y=62 (Insbesondere: Wie viele Lösungen gibt es?)
(b) Bestimmen Sie in [mm] \IZ\times \IZ [/mm] alle Lösungen der Kongruenzgleichung [mm] 14x+5y\equiv_{23} [/mm] 62 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gibt es zur Lösung der obigen Aufgaben einen "eleganten" Weg im Sinne von Äquivalenzumformungen, oder bleibt mir nichts anderes als stumpfes Ausprobieren in Frage kommender Werte.
Unser Professor setzt dieser Stoff als bekannt voraus, in der LinA haben wir aber anderes behandelt und das Skript des neuen Profs bearbeitet nur 2 Sätze mit Beweisen über modulare Arithmetik - das war's.
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe, Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Do 15.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (1) Was sind die multiplikativen Inversen von 10, 17 und 18
> in [mm]\IZ_{37}?[/mm]
Das machst du mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus: du bestimmst $ggT(10, 37) = a * 10 + b * 37$; dann ist $a$ das moduare Inverse von 10 modulo 37, wenn $ggT(10, 37) = 1$ ist. (Falls der $ggT > 1$ ist, dann gibt es kein Inverses.)
> (2)
> (a) Bestimmen Sie in [mm]\IZ_{89}\times \IZ_{89}[/mm] alle
> Lösungen (x,y) der Gleichung 14x+5y=62 (Insbesondere: Wie
> viele Lösungen gibt es?)
Erstmal: betrachte die diophantische Gleichung $14 x + 5 y + 89 z = 62$ mit $x, y, z [mm] \in \IZ$. [/mm] Diese kannst du auch wieder mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus loesen und die komplette Loesungsmenge hinschreiben.
Aus dieser kannst du dann die Loesungen von $(x, y) [mm] \in \IZ_{89}$ [/mm] erhalten.
> (b) Bestimmen Sie in [mm]\IZ\times \IZ[/mm] alle Lösungen der
> Kongruenzgleichung [mm]14x+5y\equiv_{23}[/mm] 62
Genauso wie gerade, nur mit 23 anstelle 89.
Wie man solche diophantische Gleichungen mit drei Unbestimmten loest, hatten wir mal hier durchdiskutiert.
LG Felix
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