Gleichungen lösen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 So 08.01.2006 | | Autor: | LarsB |
| Aufgabe | Folgende Gleichung ist zu lösen: (allgemeine Lösung angeben)
[mm]cos{(2x)}=3+6 \bruch{2}{3}cos{x}[/mm] |
Kann mir bitte jemand diese Gleichung lösen?
Bitte mit Zwischenschritten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 So 08.01.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo LarsB,
der Trick bei all diesen Gleichungen ist es, die trigonometrische Gleichung in eine algebraische umzuformen. Hierzu braucht man eine gewisse Erfahrung und/oder eine gute Formelsammlung. In Deinem Beispiel wird aufgrund des doppelten Winkelargumentes eine quadratische Gleichung sich ergeben. Was wir brauchen zur Umformung ist,
$$ [mm] \cos^2 [/mm] x + [mm] \sin^2 [/mm] x = 1 $$ und
$$ [mm] \cos [/mm] (2x) = [mm] \cos^2 [/mm] x - [mm] \sin^2 [/mm] x $$
Mit diesen beiden Gleichungen ergibt sich für die linke Seite Deiner Gleichung der Ausdruck $ [mm] 2\cos^2 [/mm] x - 1$ und damit für die gesamte Gleichung
$$ 2 [mm] \cos^2 [/mm] x - 1 = 3 + 4 [mm] \cos [/mm] x $$
Daraus ergibt sich durch einfaches Umformen und nach Division durch 2
$$ [mm] \cos^2 [/mm] x - 2 [mm] \cos [/mm] x - 2 = 0$$
Substituiert man nun $ [mm] \cos [/mm] x = m $ erhält man die quadratische Gleichung
$$ [mm] m^2 [/mm] - 2m -2 =0$$
die man über die p/q-Formel lösen kann:
[mm] $$m_{1,2} [/mm] = 1 [mm] \pm \wurzel{3} [/mm] $$
Es gibt also zwei Hauptwerte für Deine Gleichung mit
$$ [mm] x_{1,2}= \arccos (1\pm \wurzel{3}) [/mm] $$ und natürlich alle Werte für x, die sich um ganzzahlige Vielfache von [mm] \pi [/mm] davon unterscheiden.
Ich gebe zu, man braucht ein gewisses Gespür zum Ändern der Gleichungen, aber hier hilft nur üben, üben, üben.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mo 09.01.2006 | | Autor: | LarsB |
| Aufgabe | [mm]cos(2x)=3+6\bruch{2}{3}cosx[/mm]
NR:
[mm]cos(2x)=cos^{2}x-sin^{2}x[/mm] [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm]cos^{2}x-sin^{2}x=3+6\bruch{2}{3}cosx[/mm] |
Hallo Infinit
soweit kann ich es nachvollziehen, bitte um Erklärung der nächsten Schritte!
muss ich [mm]sin^{2}x[/mm] noch umformen zu [mm]\bruch{1}{2}(1-cos2x)[/mm]?
..und wie kommt die Beziehung [mm]sin^{2}x+cos^{2}x={1}[/mm] hier zum tragen?
Gruß
LarsB
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Hallo Lars!
Wenn Du nun in Deiner Gleichung [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] ersetzt durch
[mm] [center]$\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\cos^2(x)$ [/mm] ,[/center]
kannst Du folgendermaßen substituieren: $z \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] .
Damit hast du eine quadratische Gleichung, die Du mit bekannten Mitteln (z.B  p/q-Formel) lösen kannst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mo 09.01.2006 | | Autor: | LarsB |
| Aufgabe | [mm]sin^{2}x=\bruch{1}{2}(1-cos2x)[/mm]
warum:
[mm]sin^{2}x=1-cos^{2}x[/mm] |
Hallo Roadrunner,
Wie kommst Du darauf?
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Hallo Lars!
Hier wurde der trigonometrische Pythagoras [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ nach [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] umgestellt:
[mm] $\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\cos^2(x)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Mo 09.01.2006 | | Autor: | LarsB |
Hallo Roadrunner!
langsam geht mir wohl ein Licht auf!
Gruß
LarsB
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