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Hallo Leute!
Muss folgende Aufgabe bis morgen lösen,krieg's aber nicht hin.
Die Aufgabe lautet:
Bestimmen sie für die Gleichung:
[mm] z^{2} [/mm] - [mm] \wurzel{2}z [/mm] = i - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
jeweils alle komplexen Lösungen in der Form a + ib mit a,b [mm] \in \IR.
[/mm]
Ich hab es versucht so dass ich für z, (a+ib) eingesetzt hab, da kommt aber nicht sinvolles raus.
Kann mir,bitte jemand ein paar Tipps geben??!!??
LG Martina
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Das Standardverfahren in so nem Fall: quadratische Ergänzung.
In diesem Fall führt das auf:
[mm]z^2- \wurzel{2}*z-i+ \bruch{1}{2}=0 \gdw (z- \bruch{\wurzel{2}}{2})^2=i[/mm]
Jetzt am besten eine kleine Substitution, macht's übersichtlicher: [mm]a=z- \bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
Also heißt die Gleichung jetzt: [mm]a^2=i[/mm]
Jetzt brauchst du ein wenig Wissen über die komplexen Zahlen:
hast du 2 komplexe Zahlen [mm]z[/mm] und [mm]w[/mm] mit [mm]z=r_z*(cos(\phi_z)+i*sin(\phi_z))[/mm] und [mm]w=r_w*(cos(\phi_w)+i*sin(\phi_w))[/mm] , so gilt:
[mm]z*w=r_z*r_w*(cos(\phi_z+\phi_w)+i*sin(\phi_z+\phi_w))[/mm]
Das bedeutet: bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden die Beträge (also Längen) multipliziert, und die Argumente (also Winkel mit der reellen Achse) addiert.
Was hat das mit unserer Aufgabe zu tun? [mm]a^2=a*a[/mm], also das Produkt mit sich selber. Und [mm]a^2[/mm] kennen wir!
[mm]a^2=i[/mm]
Brauchen also: Betrag nd Argument von [mm]a[/mm].
[mm]|a^2|=1 \Rightarrow |a|=1[/mm]
Argument (Winkel zwischen [mm] a^2 [/mm] und der reellen Achse: [mm]arg(a^2)=arg(a*a)=2*arg(a)= \bruch{\pi}{2} \Rightarrow arg(a)= \bruch{\pi}{4}[/mm]
Jetzt isses so: wir haben eine Gleichung 2. Grades, also werden wir auch 2 Lösungen haben. Die Länge ist eindeutig, aber das Argument isses nicht.
Warum? [mm]arg(a^2)=\bruch{\pi}{2}[/mm] ist nicht die einzige Möglichkeit, [mm]\bruch{\pi}{2}+2*\pi[/mm] geht auch, weil dann wäre: [mm]arg(a^2)=\bruch{5*\pi}{2} \Rightarrow arg(a)=\bruch{5*\pi}{4}[/mm], und das wäre ja auch noch kleiner als [mm]2*\pi[/mm].
Wichtig: hat man also die Gleichung [mm]a^n=c[/mm] zu lösen, so findet man für's Argument von [mm]a[/mm] insgesamt n verschiedene Lösungen, nämlich das Argument von [mm]c[/mm] und dann so lange [mm]+2*\pi[/mm] rechnen, bis man insgesamt [mm]n[/mm] Argumente da stehen hat. Und die Argumente von a (also der n-ten Wurzel) sind dann alle [mm]<2*\pi[/mm].
Hier jetzt also: [mm]|a|=1 , arg(a)= \bruch{\pi}{4}[/mm] und [mm]5*\bruch{\pi}{4}[/mm]
Die beiden komplexen Zahlen schreiben wir nochmal hin(in Polarkoordinaten):
[mm]a_1=|a|*(cos(\phi_1)+i*sin(\phi_1))=cos( \bruch{\pi}{4}+i*sin( \bruch{\pi}{4})= \bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
Analog die 2. Lösung (Ergebnis): [mm]a_2=-\bruch{\wurzel{2}}{2}-i*\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
Jetzt fehlt noch die Rücksubstitution [mm]a=z-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
[mm] \Rightarrow z_1= \wurzel{2}+i* \bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] und [mm] z_2=-i*\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] (selber nachrechnen)
Die Probe bekommt man leicht hin, indem man diese beiden Zahlen in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.
Ich hoffe, ich hab mich nirgendwo vertippt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 So 07.11.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Ich weiß, ich hab jetzt die ganze Lösung schon 'verraten', aber das ist nun mal das Standardverfahren in so einem Fall, und ich finde, an einem Beispiel versteht man es am besten.
Falls du noch weitere Beispiele zu diesem Aufgabentyp brauchst, kann ich noch einige raussuchen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:00 Mo 08.11.2004 | | Autor: | martina25 |
Vielen Dank für deine Mühe!
ich versuch jetzt damit auch die andere Aufgabe zu lösen. Wenn Du mir noch ein Beispiel zu diese Problematik schicken könntest wäre ich Dir dankbar. Das ist ja das ganze Problem an der Uni für mich dass ich ja keine Beispiel-aufgaben hab mit denen ich dann weiter arbeiten kann.
LG Martina
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| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 08:20 Mo 08.11.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Kein Problem:
a) [mm] z^5+4*(i+1)=0 [/mm]
b) [mm] i*z^2+(1-i)*z-3=0 [/mm]
und der "Klassiker"
c) [mm] z^6=1 [/mm]
Zur Kontrolle geb ich mal die Lösungen an.
Bei der a) sind die meisten Lösungen irrational:
a) [mm]z_1=1+i[/mm] , [mm]z_2\approx-0,64+1,26*i[/mm] , [mm]z_3\approx-1,397-0,22*i[/mm] , [mm]z_4\approx-0,22-1,397*i[/mm] , [mm] z_5\approx1,26-0,64*i[/mm]
Und damit haben wir hier auch die 5 Lösungen (da Gleichung 5. Grades)
b) Hier sehen die beiden Lösungen auch nicht viel schöner aus 
[mm] z_1=\bruch{1-\wurzel{5}}{2}+i*\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm]
[mm] z_2=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}+i*\bruch{1-\wurzel{5}}{2} [/mm]
c) Hier erhalten wir insgesamt 6 Lösungen:
[mm]z_1=1[/mm]
[mm]z_2=\bruch{1}{2}+i*\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
[mm]z_3=-\bruch{1}{2}+i*\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
[mm]z_4=-1[/mm]
[mm]z_5=-\bruch{1}{2}-i*\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
[mm]z_6=\bruch{1}{2}-i*\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
So, viel Spaß damit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:26 Mo 08.11.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Na klasse, jetzt hab ich meinen Mitteilungsartikel mit den Aufgaben als Frageartikel definiert...
Wie kann ich das ändern? Konnt's nicht rausfinden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Mo 08.11.2004 | | Autor: | martina25 |
Das weiss ich auch nicht. Aber ich gib mir Mühe und probiere es anhand deiner gestrigen lösung zu lösen. ich meld mich wieder morgen wie weit ich gekommen bin.
Nochmals vielen dank für deine Mühe!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Di 09.11.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Dann wünsch ich mal viel Glück damit.
Und falls noch irgendwas unklar sein sollte (z.B. wie man auf die verschiedenen Werte für's Argument kommt), dann frag einfach nach.
Ach ja: wenn du die Lösungen der c) in die Gauß'sche Zahlenebene einzeichnest, solltest du ein schönes regelmäßiges Sechseck erhalten.
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