Gleichungen zu Logarithmusfunk < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Mi 29.01.2014 | | Autor: | uli001 |
| Aufgabe | | [mm] 2^{x}=10 [/mm] |
Hallo zusammen,
ich erarbeite gerade die Exponential- und Logarithmusfunktionen... Steig allerdings noch nicht wirklich durch... :-P
Um mich dem Ganzen anzunähern, versuche ich es mit verschiedenen Übungsaufgaben, zum Beispiel eben [mm] 2^{x}=10
[/mm]
Könnte mir jemand kurz erklären, wie ich solch eine Gleichung schrittweise löse?
Wäre sehr dankbar für einen Tipp...
VG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Mi 29.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]2^{x}=10[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich erarbeite gerade die Exponential- und
> Logarithmusfunktionen... Steig allerdings noch nicht
> wirklich durch... :-P
>
> Um mich dem Ganzen anzunähern, versuche ich es mit
> verschiedenen Übungsaufgaben, zum Beispiel eben [mm]2^{x}=10[/mm]
>
> Könnte mir jemand kurz erklären, wie ich solch eine
> Gleichung schrittweise löse?
Aus [mm] 2^x=10 [/mm] folgt [mm] $\ln(10)=\ln(2^x)=x* \ln(2)$
[/mm]
Du kannst auch [mm] \log, [/mm] also den Logarithmus zur Basis 10, verwenden, dann bekommst Du
[mm] $\log(10)=\log(2^x)=x* \log(2)$
[/mm]
Es ist [mm] \log(10)= [/mm] ??
FRED
>
> Wäre sehr dankbar für einen Tipp...
>
> VG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Mi 29.01.2014 | | Autor: | uli001 |
Oje... das verstehe ich irgendwie gar nicht...
ich hatte den Ansatz [mm] 2^{x}=10 [/mm] => x= [mm] 2^{10} [/mm] => 10= [mm] log2^{x}
[/mm]
Allerdings finde ich dabei weder Parallelen zu deiner Vorgehensweise noch wüsste ich bei meinem Ansatz wie ich weiterrechne... So oder so, wie komme ich auf x???
Oje...
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Hallo uli,
wie du auf das x kommst, hat dir Fred eigentlich schon beschrieben.
Gehen wir mal einfach an die Sache heran:
Gleichung 1:
3x=6
Was machst du um auf das x zu kommen? Klar, du dividierst beiderseits durch den Faktor 3.
x=2.
Gleichung 2:
[mm] x^2=16
[/mm]
Was macht man hier? Klar man zieht die Wurzel beiderseits:
[mm] \sqrt{x^2}=\pm\sqrt{16}
[/mm]
[mm] x=\pm4
[/mm]
Wir wenden also immer die Operation auf beiden Seiten an. Jetzt haben wir die Variable im Exponenten. Diese müssen wir ja irgendwie "runterbekommen" und das geht nicht mit + oder -. Nein, es klappt auch nicht mit Multiplikation/Division, geschweige denn mit Quadrieren oder Radizieren. Nur durch "Logarithmieren" werden wir es schaffen. Allerdings auf beide Seiten anwenden:
[mm] 2^x=10
[/mm]
Anwenden von [mm] \log [/mm] liefert
[mm] \log(2^x)=\log10
[/mm]
Jetzt folgen Logarithmengesetze!
[mm] x\log2=\log10
[/mm]
usw (Fred hatte das schon gezeigt).
Also, was sollte man sich merken:
Gewisse Umkehroperationen gehören zusammen (rein symbolisch zu verstehen).
+ [mm] \gdw [/mm] -
[mm] *\gdw [/mm] :
^ [mm] \gdw \sqrt{\ \ }
[/mm]
[mm] e^{...}\gdw \ln(...)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Mi 29.01.2014 | | Autor: | uli001 |
Aaaah... jetzt leuchtet mir das ganze schon mehr ein... Vielen Dank für diese Erklärung!!! Nur noch eine kurze (dumme... sorry!) Frage: Ist denn nun log und ln das Gleiche? Weil auf dem TR gibt es ja auch beide Tasten... Kommt aber in diesem Fall das Gleiche raus...? Was ist der Unterschied?
VG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Der Logarithmus von $a$ zur Basis $b$ wird wie folgt geschrieben:
[mm] x=\log_{b}(a)
[/mm]
Man sagt: "$x$ ist der Logarithmus von $a$ zur Basis $b$".
Der Logarithmus zur Basis $e$, der der Eulerschen Zahl, wird wie folgt definiert:
[mm] \log_{e}(a)=:\ln(a)
[/mm]
Wenn du die Basis änderst, dann änderst du die Funktion.
Für die äquivalente Umformung deiner Aufgabe ist die Wahl der Basis "egal".
Du kannst in diesem Fall aber geschickt sein und die Basis $2$ wählen.
Ansonsten kannst du dir mal den Wikipedia Artikel zum Logarithmus ![[]](/images/popup.gif) hier durchlesen.
Vor allem die Logarithmusgesetze sind sehr wichtig.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Mi 29.01.2014 | | Autor: | uli001 |
Neuer Versuch... ich verstehe zwar nicht warum, aber ich versuche mal nach deinem Schema vorzugehen, also ln10= x * ln2 => x = ln10/ln2 = 3,32...
Wäre das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Mi 29.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Neuer Versuch... ich verstehe zwar nicht warum, aber ich
> versuche mal nach deinem Schema vorzugehen, also ln10= x *
> ln2 => x = ln10/ln2 = 3,32...
>
> Wäre das so korrekt?
Ja, das ist ok.
Denn
[mm] 10=2^{x}
[/mm]
Beidseitig einen Logarithmus anwenden (Welchen ist erstmal egal) fürht zu
[mm] \log_{b}(10)=\log_{b}\left(2^{x}\right)
[/mm]
Die Potenz kannst du "herausziehen", das geht nach einem der  Logarithmusgesetze, dann bekommst du
[mm] \log_{b}(10)=x\cdot\log_{b}(2)
[/mm]
Nun nur noch durch [mm] \log_{b}(2) [/mm] dividieren
[mm] \frac{\log_{b}(10)}{\log_{b}(2)}=x
[/mm]
Etwas schneller geht das ganze mit dem passenden Logarithmus, dem zur Basis 2
[mm] 10=2^{x}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\log_{2}(10)=\log_{2}\left(2^{x}\right)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\log_{2}(10)=x\cdot\underbrace{\log_{2}(2)}_{=1}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\log_{2}(10)=x
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Mi 29.01.2014 | | Autor: | uli001 |
Okay, danke!!!
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