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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Wenn L sie Lösungsmenge des linearen Glss.
+ y +2z + u = 0
x + 2y +3z+u = 0
4x+2y+z+2u = 0
2x +3z+3u= 0
sei und für x,y,z und u = 0 herauskommt wie weiß ich dann z.b. ob L ein Unterraum von bsp.: [mm] K_{4} [/mm] ist? imension ist ja dann 0.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Der Lösungsraum jedes homogenden linearen Gleichungssystems ist ein Unterraum des zugehörigen [mm] $\IK^n$.
[/mm]
Denn: Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise gegeben:
$Ax=0$.
Dann gilt für die Lösungsmenge $L$
1) $0 [mm] \in [/mm] L$ wegen $A [mm] \cdot [/mm] 0 =0$,
2) $x,y [mm] \in [/mm] L [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] Ax=0 [mm] \wedge [/mm] Ay=0 [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] A(x+y) = Ax+Ay=0+0=0 [mm] \quad \Rightarrow \quad x+y\in [/mm] L$,
3) $x [mm] \in L,\, \lambda \in \IK \quad \Rightarrow \quad [/mm] Ax=0 [mm] \quad \Rightarrow \quad A(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda(Ax) [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] 0 = 0 [mm] \quad \Rightarrow \quad \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] L$.
Somit sind die Unterraumkriterien für $L$ erfüllt.
Viele Grüße
Stefan
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