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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:41 So 31.05.2009 | | Autor: | kilchi |
| Aufgabe | Hat das Gleichungssystem
x + 2y + 2z = [mm] b_1
[/mm]
2x + 2y + 3z = [mm] b_2
[/mm]
3x + 4y + 5z = [mm] b_3
[/mm]
für beliebige reelle Zahlen [mm] b_1, b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] eine Lösung? |
Guten Morgen
Wir sind im Thema Matrizenrechen und Gleichungssysteme. Ich habe bei dieser Aufgabe leider keine Ahnung, wie ich auf die Lösung kommen soll. Muss ich etwas mit der erweiterten Matrize machen? Aber was bringr mir das dann? Ich kann den Rang ablesen.
Jetzt gibt es ja entweder keine, unendlich viele oder genau eine Lösung. Eine Lösung ist gesucht und das ist nur der Fall, wenn Rg(A) = [mm] Rg(A|\vec{b}) [/mm] .
Wie kann ich das jetzt aber bestimmen?
Wäre für eure Hilfe dankbar.
Habe mal die Matrizen umgerechnet....
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 | 1\\ 2 & 2 & 3 | 1 \\ 3 & 4 & 5 | 1 }
[/mm]
=> 2. Zeile - 2 mal 1. Zeile
=> 3. Zeile - 3 mal 1. Zeile
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 | 1\\ 0 & -2 & 1 | -1 \\ 0 & -2 & 1 | -2 }
[/mm]
=> 2. Zeile mal -2
=> 3. Zeile mal -2
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 | 1\\ 0 & 1 & -0.5 | 0.5 \\ 0 & 1 & -0.5 | 1 }
[/mm]
=> 3. Zeile - 2. Zeile
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 | 1\\ 0 & 1 & -0.5 | 0.5 \\ 0 & 0 & 0 | 0.5 }
[/mm]
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> Hat das Gleichungssystem
>
> x + 2y + 2z = [mm]b_1[/mm]
> 2x + 2y + 3z = [mm]b_2[/mm]
> 3x + 4y + 5z = [mm]b_3[/mm]
>
> für beliebige reelle Zahlen [mm]b_1, b_2[/mm] und [mm]b_3[/mm] eine Lösung?
> Guten Morgen
Hallo,
>
> Wir sind im Thema Matrizenrechen und Gleichungssysteme. Ich
> habe bei dieser Aufgabe leider keine Ahnung, wie ich auf
> die Lösung kommen soll. Muss ich etwas mit der erweiterten
> Matrize machen?
Nein. Aber mit der erweiterten Matrix...
> Aber was bringr mir das dann? Ich kann den
> Rang ablesen.
Genau.
>
> Jetzt gibt es ja entweder keine, unendlich viele oder genau
> eine Lösung. Eine Lösung ist gesucht
Nein, lt. Aufgabenstellung sollst Du sagen, o es [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] gibt, für die das System keine Lösung hat.
Ist aber eigentlich egal, denn der Weg ist erstmal immer gleich: erweiterte Koeffizientenmatrix auf ZSF bringen, was Du ja auch machst, bloß da Du Dich für die Lösung des Systems mit den [mm] b_i [/mm] rechts interessierst, müssen die natürlich in der rechten Spalte stehen.
Dann bringst Du die Matrix auf ZSF und schaust anschließend die Ränge an.
und das ist nur der
> Fall, wenn Rg(A) = [mm]Rg(A|\vec{b})[/mm] .
> Wie kann ich das jetzt aber bestimmen?
>
> Wäre für eure Hilfe dankbar.
>
> Habe mal die Matrizen umgerechnet....
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 | 1\\ 2 & 2 & 3 | 1 \\ 3 & 4 & 5 | 1 }[/mm]
>
> => 2. Zeile - 2 mal 1. Zeile
> => 3. Zeile - 3 mal 1. Zeile
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 | 1\\ 0 & -2 & 1 | -1 \\ 0 & -2 & 1 | -2 }[/mm]
>
> => 2. Zeile mal -2
> => 3. Zeile mal -2
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 | 1\\ 0 & 1 & -0.5 | 0.5 \\ 0 & 1 & -0.5 | 1 }[/mm]
>
> => 3. Zeile - 2. Zeile
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 | 1\\ 0 & 1 & -0.5 | 0.5 \\ 0 & 0 & 0 | 0.5 }[/mm]
Das GS mit Einsen rechts hat also keine Lösung, denn hier stimmen Rang der Koeffizientenmatrix und Rang der erweitertenmatrix nicht überein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 So 31.05.2009 | | Autor: | kilchi |
Hall Angela
Besten Dank für deine Rückmeldung. Dazu habe ich aber noch Frage.
Muss ich nicht, laut Aufgebaenstellung, sagen, ob es eine Lösung gibt?
Nun, egal, wir habe festegestellt, das die Ränge nicht übereinstimmen, in diesem Fall ( [mm] b_1= b_2 =b_3 [/mm] = 1) oder?
Gäbe es einen Fall wo es genau eine Lösung hat? (Das ist doch quasi die Frage der Aufgabe).
Falls dem so wäre, wie könnte ich das bestimmen?
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Hallo kilchi,
> Gäbe es einen Fall wo es genau eine Lösung hat?
Rechne doch mit dem allgemeinen LGS [mm]\left(\begin{smallmatrix}1&2&2&b_1\\2&2&3&b_2\\3&4&5&b_3\end{smallmatrix}\right)[/mm] und bringe es auf Zeilenstufenform. Dann siehst du, dass dieses LGS keine Lösungen hat: [mm]\left(\begin{smallmatrix}1&2&2&b_1\\0&1&{{1}\over{2}}&-{{b_2-2\,
b_1}\over{2}}\\0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)[/mm].
Gruß V.N.
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> Hallo kilchi,
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> > Gäbe es einen Fall wo es genau eine Lösung hat?
>
> Rechne doch mit dem allgemeinen LGS
> [mm]\left(\begin{smallmatrix}1&2&2&b_1\\2&2&3&b_2\\3&4&5&b_3\end{smallmatrix}\right)[/mm]
> und bringe es auf Zeilenstufenform. Dann siehst du, dass
> dieses LGS keine Lösungen hat:
Hallo,
das stimmt nicht so ganz.
Die ZSF sieht so aus: [mm]\left(\begin{smallmatrix}1&2&2&b_1\\0&1&{{1}\over{2}}&-{{b_2-2\,
b_1}\over{2}}\\0&0&0&b_2-b_3+b_1\end{smallmatrix}\right)[/mm].
Und je nachdem, wie der Vektor [mm] \vec{b} [/mm] beschaffen ist, gibt es viele Lösungen oder keine.
Die genauen Bedingungen solltest Du, kilchi, Dir überlegen.
Daran, daß der Rang der Koeffizientenmatrix =2 ist, siehst Du sofort, daß der Fall, daß es genau eine Lösung gibt, nicht vorkommen kann.
Gruß v. Angela
> [mm]\left(\begin{smallmatrix}1&2&2&b_1\\0&1&{{1}\over{2}}&-{{b_2-2\,
b_1}\over{2}}\\0&0&0& 1\end{smallmatrix}\right)[/mm].
>
> Gruß V.N.
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:05 So 31.05.2009 | | Autor: | VornameName |
Hallo Angela,
> Die ZSF sieht so aus:
> [mm]\left(\begin{smallmatrix}1&2&2&b_1\\0&1&{{1}\over{2}}&-{{b_2-2\,
b_1}\over{2}}\\0&0&0&b_2-b_3+b_1\end{smallmatrix}\right)[/mm]
Das ist ja interessant. Mir scheint, wir haben einen Fehler im Maxima Computeralgebrasystem entdeckt. Oder habe ich es falsch benutzt? Vielleicht kennt sich da ja jemand besser aus. ;) Sonst melde ich das mal in deren Fehlerdatenbank...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß V.N.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 14:41 So 31.05.2009 | | Autor: | angela.h.b. |
Hallo,
Fehler würde ich dazu nicht sagen.
Da wurde halt Duch meinen rechten unteren Ausdruck dividiert, was man ja auch darf, solange der nicht "zufälligerweise " gerade =0 ist.
Für alle anderen Vektoren stimmt's ja.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 16:31 So 31.05.2009 | | Autor: | VornameName |
Also irgendwie habe ich gerade ein Brett vorm Kopf: Wenn ich z.B. folgende Gleichung habe: [mm]z=0\![/mm]. Dann kann ich doch nicht einfach folgendermaßen umformen: [mm]z=0\Leftrightarrow \tfrac{1}{z}\cdot{}z=\tfrac{1}{z}\cdot{}0\stackrel{(\*)}{\Leftrightarrow} 1=0[/mm], denn eine solche Umformung würde doch gerade erst voraussetzen, dass [mm]z\ne 0[/mm] ist, wobei wir aber von [mm]z=0\![/mm] ausgehen! Und wenn man [mm]z:=b_2-b_3+1[/mm] setzt, müsste diese Argumentation immer noch stimmen, weshalb die Umformung bei (*) unzulässig ist. Also ist es doch ein Fehler in Maxima?
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 17:01 So 31.05.2009 | | Autor: | angela.h.b. |
Hallo,
dieser Smalltalk per Korrekturmitteilung ist irgendwie immer komisch - aber egal.
> Also irgendwie habe ich gerade ein Brett vorm Kopf: Wenn
> ich z.B. folgende Gleichung habe: [mm]z=0\![/mm]. Dann kann ich doch
> nicht einfach folgendermaßen umformen: [mm]z=0\Leftrightarrow \tfrac{1}{z}\cdot{}z=\tfrac{1}{z}\cdot{}0\stackrel{(\*)}{\Leftrightarrow} 1=0[/mm],
> denn eine solche Umformung würde doch gerade erst
> voraussetzen, dass [mm]z\ne 0[/mm] ist, wobei wir aber von [mm]z=0\![/mm]
> ausgehen! Und wenn man [mm]z:=b_2-b_3+1[/mm] setzt, müsste diese
> Argumentation immer noch stimmen, weshalb die Umformung bei
> (*) unzulässig ist. Also ist es doch ein Fehler in Maxima?
Natürlich ist es grottenfalsch, wenn man durch 0 dividiert, auch wenn man zufälligerweise Maxima heißt.
Ich weiß halt nicht, wie intelligent Maxima ist: kann die prinzipiell Fallunterscheidungen machen, oder ist sie hier auf die Unterstützung des Fütternden angewiesen?
Vielleicht ist Maxima 'nen klein büschele dämlich. Das macht ja nix, in gewissen Situationen kann sie doch hilfreich sein.
Ich denke, wenn Du ihr einen konkreten Vektor [mm] \vec{b} [/mm] geben würdest, würde ihr der Fehler nicht passieren, oder?
Das meinte ich damit, daß ich es, obleich entsetzlich falsch, nicht unbedingt als Fehler von Maxima benennen würde. Ich bin da vielleicht etwas toleranter als Du und habe infolge eigener Unkenntnis weniger Ansprüche an die Dame.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 17:24 So 31.05.2009 | | Autor: | VornameName |
Hallo Angela,
> Vielleicht ist Maxima 'nen klein büschele dämlich. Das
> macht ja nix, in gewissen Situationen kann sie doch
> hilfreich sein.
>
> Ich denke, wenn Du ihr einen konkreten Vektor [mm]\vec{b}[/mm] geben
> würdest, würde ihr der Fehler nicht passieren, oder?
Das glaube ich auch nicht; Ich hab' bemerkt, dass dieses Verhalten mit triangularize() nicht auftritt, sondern nur bei echelon().
> Das meinte ich damit, daß ich es, obleich entsetzlich
> falsch, nicht unbedingt als Fehler von Maxima benennen
> würde. Ich bin da vielleicht etwas toleranter als Du und
> habe infolge eigener Unkenntnis weniger Ansprüche an die
> Dame.
Das erinnert mich irgendwie an einen ![[]](/images/popup.gif) alten Film... Computer irren sich nicht. :)
Gruß V.N.
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