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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 So 12.07.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Gegeben ist das Gleichungssystem:
[mm] F_1(x,y)=\sin(x+y)-1=0
[/mm]
[mm] F_2(x,y)=\sin(x)*\cos(y)-0,5=0
[/mm]
a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix zu diesem Gleichungssystem.
b) Führen Sie einen Schritt des Newton-Verfahrens zur Kösung dieses Systems durch mit den Startwerten: [mm] x_0=0, y_0=0
[/mm]
c) Berechnen Sie: [Dateianhang nicht öffentlich] |
Zu a)
[mm] D_f(x)=\pmat{ \cos(x+y) & \cos(x+y) \\ \cos(x)*\cos(y) & \sin(x)*(-\sin(y)) }
[/mm]
müsste eigentlich stimmen oder?
Zu b)
Hier bin ich mir nicht sicher ob das so richtig ist:
Startvektor [mm] x^0=\pmat{ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] f(x^0)=\pmat{ \sin(0)-1 \\ \sin(0)*\cos(0)-0,5 }=\pmat{ -1 \\ -0,5 }
[/mm]
[mm] D_f(x)^{-1}=\bruch{1}{\cos(x+y)*\sin(x)*(-\sin(y))-\cos(x+y)*\cos(x)*\cos(y)}*\pmat{ \sin(x)*(-\sin(y)) & -\cos(x+y) \\ -\cos(x)*\cos(y) & \cos(x+y) }
[/mm]
[mm] D_f(x^0)^{-1}=\bruch{1}{\cos(0)*\sin(0)*(-\sin(0))-\cos(0)*\cos(0)*\cos(0)}*\pmat{ \sin(0)*(-\sin(0)) & -\cos(0) \\ -\cos(0)*\cos(0) & \cos(0) }=\bruch{1}{-1}*\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 1 }=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -1 }
[/mm]
[mm] x^1=x^0-((D_f(x^0))^{-1}*f(x^0)=\pmat{ 0 \\ 0 }-\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -1 }*\pmat{ -1 \\ -0,5 }=\pmat{ 0,5 \\ 0,5 }
[/mm]
? Stimmt das so? Hoffe das sieht nicht zu unübersichtlich aus...
Zu c)
Hier weis ich nicht wirklich weiter...
|| ... [mm] ||_1 [/mm] meint ja die 1-Norm bzw. die maximale Spaltenbetragssumme.
Wenn ich von Spaltenbetragssume ausgehe würde ich sowas erwarten aber ich weis nich ob das richtig ist...
[mm] \left|\left|\pmat{ \sin(0+0)-1 \\ \sin(0)*\cos(0)-0,5 }\right|\right|_1=|-1|+|-0,5|=1,5 [/mm] ...
und da es nur eine Spalte gibt, muss das auch die maximale sein.
Aber das war wie gesagt geraten, wie muss es denn wirklich heissen?
Nachtrag: Da Mathematica zu [mm] Norm\left[\pmat{ -1 \\ -0,5 }, 1\right]
[/mm]
als Ergebnis 1.5 ausspuckt nehme ich das jetzt einfach mal als richtig hin 
Dann ist [mm] \left|\left|\pmat{ \sin(0,5+0,5)-1 \\ \sin(0,5)*\cos(0,5)-0,5 }\right|\right|_1=0,237794
[/mm]
Danke und Gruß,
tedd
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo tedd,
> Gegeben ist das Gleichungssystem:
> [mm]F_1(x,y)=\sin(x+y)-1=0[/mm]
> [mm]F_2(x,y)=\sin(x)*\cos(y)-0,5=0[/mm]
> a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix zu diesem
> Gleichungssystem.
> b) Führen Sie einen Schritt des Newton-Verfahrens zur
> Kösung dieses Systems durch mit den Startwerten: [mm]x_0=0, y_0=0[/mm]
>
> c) Berechnen Sie: [Dateianhang nicht öffentlich]
> Zu a)
>
> [mm]D_f(x)=\pmat{ \cos(x+y) & \cos(x+y) \\ \cos(x)*\cos(y) & \sin(x)*(-\sin(y)) }[/mm]
>
> müsste eigentlich stimmen oder?
Stimmt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu b)
>
> Hier bin ich mir nicht sicher ob das so richtig ist:
>
> Startvektor [mm]x^0=\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]f(x^0)=\pmat{ \sin(0)-1 \\ \sin(0)*\cos(0)-0,5 }=\pmat{ -1 \\ -0,5 }[/mm]
>
> [mm]D_f(x)^{-1}=\bruch{1}{\cos(x+y)*\sin(x)*(-\sin(y))-\cos(x+y)*\cos(x)*\cos(y)}*\pmat{ \sin(x)*(-\sin(y)) & -\cos(x+y) \\ -\cos(x)*\cos(y) & \cos(x+y) }[/mm]
Nun, den Bruch kann man noch etwas zusammenfassen.
>
> [mm]D_f(x^0)^{-1}=\bruch{1}{\cos(0)*\sin(0)*(-\sin(0))-\cos(0)*\cos(0)*\cos(0)}*\pmat{ \sin(0)*(-\sin(0)) & -\cos(0) \\ -\cos(0)*\cos(0) & \cos(0) }=\bruch{1}{-1}*\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 1 }=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm]
>
>
> [mm]x^1=x^0-((D_f(x^0))^{-1}*f(x^0)=\pmat{ 0 \\ 0 }-\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -1 }*\pmat{ -1 \\ -0,5 }=\pmat{ 0,5 \\ 0,5 }[/mm]
>
> ? Stimmt das so? Hoffe das sieht nicht zu unübersichtlich
> aus...
Ja, das stimmt.
>
> Zu c)
>
> Hier weis ich nicht wirklich weiter...
>
> || ... [mm]||_1[/mm] meint ja die 1-Norm bzw. die maximale
> Spaltenbetragssumme.
> Wenn ich von Spaltenbetragssume ausgehe würde ich sowas
> erwarten aber ich weis nich ob das richtig ist...
Die 1-Norm ist auch die ![[]](/images/popup.gif) Spaltensummennorm.
>
> [mm]\left|\left|\pmat{ \sin(0+0)-1 \\ \sin(0)*\cos(0)-0,5 }\right|\right|_1=|-1|+|-0,5|=1,5[/mm]
> ...
>
> und da es nur eine Spalte gibt, muss das auch die maximale
> sein.
> Aber das war wie gesagt geraten, wie muss es denn wirklich
> heissen?
> Nachtrag: Da Mathematica zu [mm]Norm\left[\pmat{ -1 \\ -0,5 }, 1\right][/mm]
>
> als Ergebnis 1.5 ausspuckt nehme ich das jetzt einfach mal
> als richtig hin
>
> Dann ist [mm]\left|\left|\pmat{ \sin(0,5+0,5)-1 \\ \sin(0,5)*\cos(0,5)-0,5 }\right|\right|_1=0,237794[/mm]
Das ist auch richtig.
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Mo 13.07.2009 | | Autor: | tedd |
Super!
Danke MathePower!
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