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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man bestimme alle Zahlen t [mm] \in \IQ,für [/mm] die das homogene lineare Gleichungssystem Ax=0 mindestens eine Lösung x [mm] \not=0 [/mm] besitzt.
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2t & 5 & t+2 & 8 \\ 1 & -2t & 1 & 3 \\ -2 & 1 & -t & 2 \\ 2t-1 & 8 & 3 & 13 } \in \IQ^{5 \times 4} [/mm] |
Hallo,
ich habe das Gleichunngssystem gelöst und bin am Ende auf [mm] (2-t)x_{3}=0 [/mm] gekommen.So,dann wäre [mm] x_{3}=\bruch{0}{2-t}.Dann [/mm] wäre aber [mm] x_{3} [/mm] doch immer =0 und gerade das darf es nicht sein.
Oder Kann ich sagen dass [mm] (2-t)*x_{3}=0 [/mm] für t=2 lösbar ist,da ich dann [mm] (2-2)*x_{3}=0 \gdw (0)*x_{3}=0 [/mm] habe, und dann kann es ja unendlich viele andere Lösungen für [mm] x_{3} [/mm] geben.Wenn ich das aber so mache,dann habe ich [mm] x_{3}=\bruch{0}{0}. [/mm] Darf ich das so machen?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Man bestimme alle Zahlen t [mm]\in \IQ,für[/mm] die das homogene
> lineare Gleichungssystem Ax=0 mindestens eine Lösung x
> [mm]\not=0[/mm] besitzt.
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2t & 5 & t+2 & 8 \\ 1 & -2t & 1 & 3 \\ -2 & 1 & -t & 2 \\ 2t-1 & 8 & 3 & 13 } \in \IQ^{5 \times 4}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe das Gleichunngssystem gelöst und bin am Ende auf
> [mm](2-t)x_{3}=0[/mm] gekommen.So,dann wäre
[mm] >x_{3}=\bruch{0}{2-t}.
[/mm]
Aber nur, wenn t [mm] \ne [/mm] 2 !!!
> Dannwäre aber [mm]x_{3}[/mm] doch immer =0
> und gerade das darf es nicht sein.
> Oder Kann ich sagen dass [mm](2-t)*x_{3}=0[/mm] für t=2 lösbar
> ist,da ich dann [mm](2-2)*x_{3}=0 \gdw (0)*x_{3}=0[/mm] habe, und
> dann kann es ja unendlich viele andere Lösungen für [mm]x_{3}[/mm]
> geben.
Ja. Falls tatsächlich $ [mm] (2-t)x_{3}=0 [/mm] $ rauskommt (ich habe das nicht überprüft !), so bedeutet dies:
ist t=2, so kann [mm] x_3 [/mm] beliebig gewählt werden
> Wenn ich das aber so mache,dann habe ich
> [mm]x_{3}=\bruch{0}{0}.[/mm]
Unfug. Siehe oben.
FRED
> Darf ich das so machen?
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Lenzo |
> Hallo,
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> ich habe das Gleichunngssystem gelöst und bin am Ende auf
> [mm] (2-t)x_{3}=0 [/mm] gekommen.So,dann wäre
[mm] >x_{3}=\bruch{0}{2-t}. [/mm]
Aber nur, wenn t [mm] \ne [/mm] 2 !!!
> Dannwäre aber [mm] x_{3} [/mm] doch immer =0
> und gerade das darf es nicht sein.
Warum? Du meinst, weil eine Lösung [mm]x\neq0[/mm] gefordert wird?! Aber hier ist x=[mm]\vektor{{x_1} \\
{x_2} \\
{x_3} \\
{x_4}}[/mm] also nicht allein wegen [mm]{x_3}[/mm]=0 gleich ganz der Nullvektor, oder?
> Oder Kann ich sagen dass [mm] (2-t)\cdot{}x_{3}=0 [/mm] für t=2 lösbar
> ist,da ich dann [mm] (2-2)\cdot{}x_{3}=0 \gdw (0)\cdot{}x_{3}=0 [/mm] habe, und
> dann kann es ja unendlich viele andere Lösungen für [mm] x_{3} [/mm]
> geben.
Ich denke schon.
Doch was ist mit anderen t? zB. t=-1; das kriege ich raus, wenn ich mir die Zeilen 1 und 3 so angucke. Hat jemand einen Tipp, wie viele Fallunterscheidungen man hier machen muss?
Gruß und Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Warum? Du meinst, weil eine Lösung [mm]x\neq0[/mm] gefordert wird?!
> Aber hier ist x=[mm]\vektor{{x_1} \\
{x_2} \\
{x_3} \\
{x_4}}[/mm]
Ach ja richtig,das hatte ich vergessen.
> also nicht allein wegen [mm]{x_3}[/mm]=0 gleich ganz der Nullvektor,
> oder?
>
> > Oder Kann ich sagen dass [mm](2-t)\cdot{}x_{3}=0[/mm] für t=2
> lösbar
> > ist,da ich dann [mm](2-2)\cdot{}x_{3}=0 \gdw (0)\cdot{}x_{3}=0[/mm]
> habe, und
> > dann kann es ja unendlich viele andere Lösungen für
> [mm]x_{3}[/mm]
> > geben.
>
> Ich denke schon.
>
> Doch was ist mit anderen t? zB. t=-1; das kriege ich raus,
> wenn ich mir die Zeilen 1 und 3 so angucke. Hat jemand
> einen Tipp, wie viele Fallunterscheidungen man hier machen
> muss?
Ich hab auch t=-1 für [mm] x_{2}.Was [/mm] ich nicht verstehe,ist,dass ich ein Gleichungssystem habe und in diesem Gleichungssystem bekomme ich einmal t=-1 und einmal t=2 raus, denn ich hab [mm] (-2t-2)*x_{2}=0 [/mm] und [mm] (2-t)*x_{3}=0.Die [/mm] erste Gleichung ist für t=-1 lösbar und die zweite für t=2.Aber die erste ich nicht für t=2 lösbar und die zweite für t=-1.
Was mach ich denn dann?
Oder kann ich das so machen,dass z.B. [mm] x_{3} \not=0 [/mm] ist,dann wähle ich t=2 und dann können [mm] x_{1},x_{2}x_{4} [/mm] ruhig Null sein und so halt alle Fälle durchgehen?
lg
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Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du die Aufgabe verstanden hast:
was meinst Du mit
> ich hab auch t=-1 für [mm] x_2
[/mm]
Du hast ein Gleichungssystem. Die Variablen Deines Gleichungssystems sind [mm] x_1, x_2, x_3, x_4.
[/mm]
Nun hängen einige Koeffizienten des GSs vom Parameter t ab.
Eigentlich betrachtest Du also ganz viele Gleichungssysteme, und Du sollst jetzt sagen, für welche Parameter t die Lösung des Systems eindeutig ist und für welche nicht.
Wie löst Ihr denn Gleichungssysteme? Sicher doch mit Gauß, oder?
Das System auf ZSF zu bringen, könnte also eine gute Idee sein.
Wie ich bereits dem Kommilitonen gesagt habe: beim Dividieren druch Ausdrücke mit t gilt es vorsichtig zu sein.
Möchte man z.B. durch 5t-7 teilen, so schreibt man "für [mm] 5t-7\not=0" [/mm] und untersucht den Fall "5t-7=0" im Anschluß.
Eine andere Möglichkeit zur Lösung der Aufgabe ist die Determinante, falls sie schon dran war.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 So 14.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Also ich hab folgendes GS:
1. [mm] x_{1}+2x_{2}+x_{3}+3x_{4}=0
[/mm]
2. [mm] (2t-2)x_{1}+6x_{2}+2x_{3}+10x_{4}=0
[/mm]
3. [mm] (-2t-2)x_{2}=0
[/mm]
4. [mm] 5x_{2}+(2-t)x_{3}+8x_{4}=0
[/mm]
5. [mm] -10x_{4}=0
[/mm]
Aus der 5.Gleichung folgt [mm] x_{4}=0,fällt [/mm] also raus.
Jetzt betrachte ich den Fall t=-1 und habe dafür folgendes GS:
1. [mm] x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0
[/mm]
2. [mm] -4x_{1}+6x_{2}+2x_{3}=0
[/mm]
3. [mm] 0*x_{2}=0
[/mm]
4. [mm] 5x_{2}+3x_{3}=0
[/mm]
Jetzt kann ich mir [mm] x_{2} [/mm] irgendwas aussuchen und kann sagen [mm] x_{2}=a [/mm] für a [mm] \not=0
[/mm]
Dann löse ich mit [mm] x_{2}=a [/mm] das GS und habe [mm] x_{1}=-\bruch{1}{3}a, x_{2}=a, x_{3}=-\bruch{5}{3}a, x_{4}=0.
[/mm]
Wenn ich diese Werte aber in die 2.Gleichung einsetze, bekomme ich a=0.Das ist doch ein Widerspruch, a darf doch nicht 0 sein.
Was mache ich hier falsch?
lg
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Hallo Mandy,
wann ist denn ein Produkt Null?
> 1. [mm]x_{1}+2x_{2}+x_{3}+3x_{4}=0[/mm]
> 2. [mm](2t-2)x_{1}+6x_{2}+2x_{3}+10x_{4}=0[/mm]
> 3. [mm](-2t-2)x_{2}=0[/mm]
> 4. [mm]5x_{2}+(2-t)x_{3}+8x_{4}=0[/mm]
> 5. [mm]-10x_{4}=0[/mm]
>
> Aus der 5.Gleichung folgt [mm]x_{4}=0,fällt[/mm] also raus.
Nach Formeln musst Du einen Leerraum schreiben, sonst wird der folgende Text Teil der Formel und hat z.B. keine Umlaute mehr. Die fallen tatsächlich in der Darstellung raus. Dein [mm] x_4 [/mm] aber nicht, das ist nur Null.
> Jetzt betrachte ich den Fall t=-1 und habe dafür folgendes
> GS:
>
> 1. [mm]x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0[/mm]
> 2. [mm]-4x_{1}+6x_{2}+2x_{3}=0[/mm]
> 3. [mm]0*x_{2}=0[/mm]
> 4. [mm]5x_{2}+3x_{3}=0[/mm]
>
> Jetzt kann ich mir [mm]x_{2}[/mm] irgendwas aussuchen und kann sagen
> [mm]x_{2}=a[/mm] für a [mm]\not=0[/mm]
Wieso nicht für a=0 ?
> Dann löse ich mit [mm]x_{2}=a[/mm] das GS und habe
> [mm]x_{1}=-\bruch{1}{3}a, x_{2}=a, x_{3}=-\bruch{5}{3}a, x_{4}=0.[/mm]
>
> Wenn ich diese Werte aber in die 2.Gleichung einsetze,
> bekomme ich a=0.Das ist doch ein Widerspruch, a darf doch
> nicht 0 sein.
Und warum nicht? Dürfen Variable, die mit einem Vokal bezeichnet sind, nicht Null werden? Dann nimm halt [mm] x_2=b [/mm] an, [mm] b\in\IR. [/mm] Und Du wirst feststellen, dass das LGS nur lösbar ist für b=0.
> Was mache ich hier falsch?
Du denkst nicht über das nach, was Du tust, scheint mir. Mathematik ist kein Kochrezept.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 So 14.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Jetzt betrachte ich den Fall t=-1 und habe dafür folgendes
> > GS:
> >
> > 1. [mm]x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0[/mm]
> > 2. [mm]-4x_{1}+6x_{2}+2x_{3}=0[/mm]
> > 3. [mm]0*x_{2}=0[/mm]
> > 4. [mm]5x_{2}+3x_{3}=0[/mm]
> >
> > Jetzt kann ich mir [mm]x_{2}[/mm] irgendwas aussuchen und kann sagen
> > [mm]x_{2}=a[/mm] für a [mm]\not=0[/mm]
>
> Wieso nicht für a=0 ?
Weil in der Aufgabe steht,dass man eine Lösung x [mm] \not=0 [/mm] finden soll und wenn a=0 ist,dann sind alle meine [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0 [/mm] und ich soll ja eine andere Lösung finden als diese oder verstehe ich die Aufgabe falsch?
lg
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Hallo nochmal,
da hast Du Recht, aber das findest Du doch erst heraus, nachdem Du [mm] x_2=a [/mm] angenommen hast und dann [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] bestimmt hast. Du schreibst die Beschränkung an der falschen Stelle Deiner Rechnung.
Du hattest die Gleichung [mm] 0*x_2=0 [/mm] vorliegen, und da kannst Du nun einmal für [mm] x_2 [/mm] jede Zahl einsetzen, sogar die Null. An diese Stelle gehört keine Fallunterscheidung.
Die Folgerung ist doch diese $ [mm] x_2=a\ \Rightarrow x_1=-\bruch{1}{3}a,\ x_3=-\bruch{5}{3}a\ \Rightarrow [/mm] a=0,\ [mm] \vec{x}=0, [/mm] $
was der Voraussetzung widerspricht.
Für t=-1 gibt es also keine vom Nullvektor verschiedene Lösung.
Was musst Du sonst noch untersuchen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 So 14.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> was der Voraussetzung widerspricht.
> Für t=-1 gibt es also keine vom Nullvektor verschiedene
> Lösung.
>
> Was musst Du sonst noch untersuchen?
Jetzt muss ich noch den Fall t [mm] \not=-1 [/mm] untersuchen.Wenn t [mm] \not=-1 [/mm] ist,dann muss [mm] x_{2}=0 [/mm] sein,und ich habe
1. [mm] x_{1}+x_{3}=0
[/mm]
2. [mm] (2t-2)*x_{1}+2x_{3}=0
[/mm]
3. [mm] (2-t)x_{3}=0
[/mm]
Jetzt kann ich schauen,wenn t=2 ist,dann kann ich [mm] x_{3}=a [/mm] setzen für a [mm] \in \IR. [/mm] Dann folgt daraus [mm] x_{1}=-a. [/mm] Setze ich das in die 2.Gleichung ein,so hab ich (2*2-2)*-a+2*a=0. Das führt auf keinen Widerspruch,das heißt das GS ist schonmal für t=2 lösbar.
Und wenn t nicht 2 ist,dann müsste [mm] x_{3}=0 [/mm] sein und daraus folgt,dass auch [mm] x_{1}=0 [/mm] ist.
Kann ich dann insgesamt sagen, dass das Gleichungssystem nur für t=2 lösbar ist, oder hab ich hier Fälle übersehen?
lg
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Hallo Mandy,
das sieht alles richtig und vollständig aus. Du hast also für t=2 die Lösung (-a,0,a,0), und hier musst Du dann wegen der "verbotenen" Nulllösung tatsächlich [mm] a\not=0 [/mm] setzen.
Grüße
reverend
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> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 1 & 3 \\
2t & 5 & t+2 & 8 \\
1 & -2t & 1 & 3 \\
-2 & 1 & -t & 2 \\
2t-1 & 8 & 3 & 13 } \in \IQ^{5 \times 4}[/mm]
>
> Doch was ist mit anderen t? zB. t=-1; das kriege ich raus,
> wenn ich mir die Zeilen 1 und 3 so angucke.
Hallo,
ja, das stimmt auf jeden Fall.
Ohne die Aufgabe selbst zu lösen, kann man schlecht sagen, wie viele Falunterscheidungen Du benötigst, zumal wir ja überhaupt nicht wissen, wie Dein Plan zur Lösung der Aufgabe lautet.
Prinzipiell mußt Du immer dann eine Fallunterscheidung machen, wenn Du durch "irgendwas mit t" dividierst, denn Du mußt sicherstellen, keine Division durch 0 auszuführen.
Vielleicht sagt Ihr auch mal, was Ihr auf Lager habt zum Entscheiden darüber, ob das GS eindeutig lösbar ist.
Zeilenstufenform?
Determinante?
Gruß v. Angela
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