Gleichungssystem < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Di 11.01.2011 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Sein p,q,r Primzahlen und der Parameter a eine natürliche Zahl
Ermittle die Lösungen des Gleichungssystems
[mm] p+q=p^{a-1}+1
[/mm]
$p.q = [mm] p^a+2$ [/mm] |
Ich vermute mal, es gibt keine Lösungen....
Es sind also die ganzzahligen Lösungen der quadr. Gleichung
[mm] x^2 -(p^{a-1}+1)x+(p^a+2) [/mm] = 0
gefragt
Nur die Auswertung der Diskrimante bringt mich leider nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Di 11.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sein p,q,r Primzahlen und der Parameter a eine natürliche
> Zahl
> Ermittle die Lösungen des Gleichungssystems
> [mm]p+q=p^{a-1}+1[/mm]
> [mm]p.q = p^a+2[/mm]
> Ich vermute mal, es gibt keine Lösungen....
Mal angenommen, es gibt solche Primzahlen $p, q$. Dann ist $q = [mm] p^{a-1} [/mm] - p + 1$, und somit [mm] $p^a [/mm] + 2 = p q = p [mm] (p^{a - 1} [/mm] - p + 1) = [mm] p^a [/mm] - [mm] p^2 [/mm] + p$. Daraus folgt [mm] $p^2 [/mm] + 2 = p$, was offensichtlich falsch ist, da $p [mm] \ge [/mm] 0$ ist.
Damit gibt es nichtmals irgendwelche natuerlichen Zahlen $p, q$, die dieses Gleichungssystem erfuellen.
LG Felix
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> Sein p,q,r Primzahlen und der Parameter a eine natürliche
> Zahl
> Ermittle die Lösungen des Gleichungssystems
> [mm]p+q=p^{a-1}+1[/mm]
> [mm]p.q = p^a+2[/mm]
> Ich vermute mal, es gibt keine Lösungen....
> Es sind also die ganzzahligen Lösungen der quadr.
> Gleichung
>
> [mm]x^2 -(p^{a-1}+1)x+(p^a+2)[/mm] = 0
> gefragt
Falls wirklich alle "$\ p$" in dem Gleichungssystem für dieselbe
Primzahl stehen, so kannst du daraus nicht wie angegeben
eine quadratische Gleichung machen. Den Satz von Vieta
könntest du nur dann anwenden, wenn die rechten Seiten
der Gleichungen das $\ p$ nicht auch noch enthielten.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Di 11.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
> > Sein p,q,r Primzahlen und der Parameter a eine natürliche
> > Zahl
> > Ermittle die Lösungen des Gleichungssystems
> > [mm]p+q=p^{a-1}+1[/mm]
> > [mm]p.q = p^a+2[/mm]
> > Ich vermute mal, es gibt keine
> Lösungen....
> > Es sind also die ganzzahligen Lösungen der quadr.
> > Gleichung
> >
> > [mm]x^2 -(p^{a-1}+1)x+(p^a+2)[/mm] = 0
> > gefragt
>
>
> Falls wirklich alle "[mm]\ p[/mm]" in dem Gleichungssystem für
> dieselbe
> Primzahl stehen, so kannst du daraus nicht wie angegeben
> eine quadratische Gleichung machen. Den Satz von Vieta
> könntest du nur dann anwenden, wenn die rechten Seiten
> der Gleichungen das [mm]\ p[/mm] nicht auch noch enthielten.
das geht so schon: es wird ja einfach $(x - p) (x - q)$ ausmultipliziert und die Gleichungen $p + q = [mm] p^{a-1} [/mm] - 1$, $p q = [mm] p^a [/mm] + 2$ verwendet. Demnach sind $x = p$ und $x = q$ Loesungen der von wauwau genannten quadratischen Gleichung (unter Annahme, dass $p + q = [mm] p^{a-1} [/mm] - 1$, $p q = [mm] p^a [/mm] + 2$ gelten).
Die quadratische Gleichung alleine enthaelt also weniger Informationen als das urspruengliche Gleichungssystem, und wirklich hilfreich ist sie auch nicht. Aber betrachten darf man sie schon.
LG Felix
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> Moin Al,
>
> > > Sein p,q,r Primzahlen und der Parameter a eine natürliche
> > > Zahl
> > > Ermittle die Lösungen des Gleichungssystems
> > > [mm]p+q=p^{a-1}+1[/mm]
> > > [mm]p.q = p^a+2[/mm]
> > > Ich vermute mal, es gibt keine
> > Lösungen....
> > > Es sind also die ganzzahligen Lösungen der quadr.
> > > Gleichung
> > >
> > > [mm]x^2 -(p^{a-1}+1)x+(p^a+2)[/mm] = 0
> > > gefragt
> >
> >
> > Falls wirklich alle "[mm]\ p[/mm]" in dem Gleichungssystem für dieselbe
> > Primzahl stehen, so kannst du daraus nicht wie angegeben
> > eine quadratische Gleichung machen. Den Satz von Vieta
> > könntest du nur dann anwenden, wenn die rechten Seiten
> > der Gleichungen das [mm]\ p[/mm] nicht auch noch enthielten.
>
> das geht so schon: es wird ja einfach [mm](x - p) (x - q)[/mm]
> ausmultipliziert und die Gleichungen [mm]p + q = p^{a-1} - 1[/mm], [mm]p q = p^a + 2[/mm]
> verwendet. Demnach sind [mm]x = p[/mm] und [mm]x = q[/mm] Loesungen der von
> wauwau genannten quadratischen Gleichung (unter Annahme,
> dass [mm]p + q = p^{a-1} - 1[/mm], [mm]p q = p^a + 2[/mm] gelten).
>
> Die quadratische Gleichung alleine enthaelt also weniger
> Informationen als das urspruengliche Gleichungssystem, und
> wirklich hilfreich ist sie auch nicht. Aber betrachten darf
> man sie schon.
>
> LG Felix
>
Hallo Felix,
vielleicht habe ich mich nicht ganz klar ausgedrückt. Wauwaus
Absicht war ja offenbar, das Gleichungssystem zu lösen, indem
er einfach die produzierte quadratische Gleichung auflöst.
Dies kann aber nicht gut gehen, weil ja z.B. in der Lösungsformel
dann auf der rechten Seite immer noch das eigentlich gesuchte
$\ p$ auftritt. Man kommt also jedenfalls nicht zu einer expliziten
Darstellung der (beiden !) Lösungen.
An einem einfachen Beispiel habe ich ausprobiert, was geschieht:
$\ p+q\ =\ [mm] p^2$
[/mm]
$\ p*q\ =\ 100$
Die nach der Vieta-wauwauschen Methode erzeugte quadratische
Gleichung lautet dann:
$\ [mm] x^2-p^2*x+100\ [/mm] =\ 0$
Die Lösungsformel ergibt:
$\ x\ =\ [mm] \frac{p^2\pm\sqrt{p^4-400}}{2}$
[/mm]
Wenn man nun im Bestreben, wenigstens einmal die eine der
beiden Lösungen, nämlich $\ p$ , zu finden, $\ x$ durch $\ p$ ersetzt,
so kommt man für $\ p$ nach Umformungen zur Gleichung
$\ [mm] p^3-p^2-100\ [/mm] =\ 0$
(die man auch leicht direkt aus den beiden gegebenen Gleichungen
hätte erzeugen können) und hat also nach der quadratischen Gleichung
noch eine kubische zu lösen.
Im Originalbeispiel mit den Primzahlen ist die Sache noch viel
schlimmer, da man auf den rechten Seiten der Gleichungen nicht
so etwas einfaches wie $\ [mm] p^2$ [/mm] und eine konstante Zahl hat, sondern
die Ausdrücke $\ [mm] p^{a-1}+1$ [/mm] und $\ [mm] p^{a}+2$ [/mm] mit dem nicht konkret vorge-
gebenen a . Die Methode mit Vieta führt also hier, obwohl sie
nicht strikt falsch ist, in einen ziemlich garstigen Pfuhl ...
LG Al-Chwarizmi
Übrigens: mein obiges Beispiel - Gleichungssystem hat das einfache
reelle Lösungspaar $\ (p,q)\ =\ (5,20)$ (und dazu zwei ebenfalls
einfache komplexe Lösungspaare)
LG Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:15 Di 11.01.2011 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Seien p,q,r Primzahlen und der Parameter a eine natürliche Zahl
Ermittle die Lösungen des Gleichungssystems
[mm] p+q=r^{a-1}+1
[/mm]
$p.q = [mm] r^a+2$ [/mm] |
Hab leider durch ein Telefonat unterbrochen auf der rechten Seite die falsche Primzahl geschrieben...
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> Seien p,q,r Primzahlen und der Parameter a eine natürliche
> Zahl
> Ermittle die Lösungen des Gleichungssystems
> [mm]p+q=r^{a-1}+1[/mm]
> [mm]p.q = r^a+2[/mm]
>
> Hab leider durch ein Telefonat unterbrochen auf der rechten
> Seite die falsche Primzahl geschrieben...
Aha ...
In diesem Fall warst du dann wohl mit Vieta doch nicht so
ganz auf dem falschen Dampfer ...
Jetzt frage ich aber, bevor ich neu zu rechnen anfange, doch
noch mal genau nach, ob jetzt wirklich alles stimmt. Soll
z.B. wirklich $\ p*q\ =\ [mm] r^a+2$ [/mm] sein oder vielleicht $\ p*q\ =\ [mm] r^{a+2}$ [/mm] ?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Di 11.01.2011 | | Autor: | wauwau |
$p+q = [mm] r^{a-1}+1$
[/mm]
$pq = [mm] r^a [/mm] + 2$
das stimmt jetzt schon....
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Hallo wauwau,
Du kannst r eliminieren. Es gilt [mm] r=\bruch{pq-2}{p+q-1}.
[/mm]
Dafür sind Lösungen noch leicht zu finden.
Schwieriger ist [mm] a=\bruch{\ln{(pq-2)}}{\ln{r}}=\bruch{\ln{(pq-2)}}{\ln{(pq-2)}-\ln{(p+q-1)}}
[/mm]
Wenn es dafür eine ganzzahlige Lösung gibt, ist auch Deine Aufgabe lösbar.
Damit allerdings wäre sie äquivalent der folgenden Gleichung:
[mm] \blue{(pq-2)^{a-1}=(p+q-1)^a}
[/mm]
So auf Anhieb finde ich aber weder eine Lösung noch kann ich ihre Nichtexistenz zeigen. Vielleicht hat ja mit dieser Umformung jemand anders eine Idee...
Übrigens scheint sogar zu gelten [mm] r\equiv -1\mod{12}, [/mm] aber ich kann es bisher nur für einzelne Exponenten zeigen, allgemein ist es zuviel Schreibkram...
Nachtrag: Dafür zeigt eine Betrachtung der blauen Gleichung [mm] \blue{\mod{9}}, [/mm] dass [mm] \blue{a\equiv-1\mod{6}} [/mm] sein muss (a ungerade war ja schon bekannt). p,q können [mm] \blue{\mod{9}} [/mm] ja nur -2 oder +4 sein.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 11.01.2011 | | Autor: | wauwau |
[mm]\blue{(pq-2)^{a-1}=(p+q-1)^a}[/mm]
betrachtet man nun dies Gleichung mod p+1
da a ja ungerade ist
steht dann da
[mm] (q+2)^{a-1} \equiv (q-2)^a [/mm] mod(p+1)
Vielleicht hilft das weiter??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Di 11.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo wauwau,
die Idee gefällt mir. Ich werde sie nur minimal variieren.
> [mm]\blue{(pq-2)^{a-1}=(p+q-1)^a}[/mm]
>
> betrachtet man nun dies Gleichung mod p+1
> da a ja ungerade ist
>
> steht dann da
>
> [mm](q+2)^{a-1} \equiv (q-2)^a[/mm] mod(p+1)
>
> Vielleicht hilft das weiter??
Hmmm. Das sehe ich noch nicht. Aber eine Betrachtung mod [mm] p\blue{-1} [/mm] sieht gut aus. Dann steht da:
[mm] (q-2)^{a-1}\equiv q^a\mod{(p-1)}
[/mm]
Und entsprechend
[mm] (p-2)^{a-1}\equiv p^a\mod{(q-1)}
[/mm]
...
Mir sagt das irgendwas. Ich komme nur nicht drauf.
Bevor ich anfing zu schreiben, dachte ich noch, ich hätte eine Unmöglichkeit gesehen.
Ok, ich denke nochmal drüber nach und lasse dies hier nur als Mitteilung stehen. Ist vielleicht doch schon zu spät...
Grüße
reverend
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Hallo wauwau,
ich glaub, jetzt hab ichs:
> [mm]\blue{(pq-2)^{a-1}=(p+q-1)^a}[/mm]
>
> betrachtet man nun dies Gleichung mod p+1
> da a ja ungerade ist
Noch anders. Betrachten wir die Gleichung einfach mal mod p:
[mm] 2^{a-1}\equiv (q-1)^a \mod{p}
[/mm]
Da a ungerade ist, steht also links ein quadratischer Rest [mm] \mod{p}, [/mm] rechts aber ein quadratischer Nichtrest, sofern (q-1) teilerfremd zu p ist. Dann durchlaufen die Potenzen von (q-1) ja alle Restklassen außer der Null, und liefern abwechselnd quadratische Nichtreste und quadratische Reste. Für ungerade Exponenten ergeben sich also immer qu.Nichtreste.
Sorry, das war so nicht richtig, sondern gilt nur, wenn (q-1) selbst ein quadratischer Nichtrest [mm] \blue{\mod{p}} [/mm] ist. Siehe meinen folgenden Post.
Ist aber (q-1) nicht teilerfremd zu p, so steht rechts die Restklasse Null, links aber immer noch ein quadratischer Rest.
Entsprechendes ergibt sich bei einer Betrachtung mod q.
Die blaue Gleichung oben hat also keine Lösung und Deine ganze Aufgabe damit auch nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Mi 12.01.2011 | | Autor: | wauwau |
Hallo Reverend,
Tw kann ich deine Überlegungen zwar nachvollziehen, aber allgemein kann das nicht stimmen,
denn p=3,q=5 und a=3 wären ja eine Lösung der Gleichung
[mm]2^{a-1}\equiv (q-1)^a \mod{p}[/mm]
allgemein q+2=p (Primzahlwillinge) und a=1
Wenn p=3 bzw a=1 die einzigen Fälle dafür wären - das haben (könnten wir noch) von anfang aus ausschließen
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Hallo nochmal,
> Tw kann ich deine Überlegungen zwar nachvollziehen, aber
> allgemein kann das nicht stimmen,
> denn p=3,q=5 und a=3 wären ja eine Lösung der Gleichung
> [mm]2^{a-1}\equiv (q-1)^a \mod{p}[/mm]
>
> Wenn p=3 der einzige Fall dafür wäre - das haben wir ja
> schon anfangs ausgeschlossen...
Es gibt noch eine Lösungsklasse: für a=p und q=2 ist die Äquivalenz auch erfüllt.
Für [mm] p,q\ge{7} [/mm] existieren diese Lösungen aber nicht, weder Deine noch meine.
Ich habe aber etwas anderes Wesentliches übersehen:
Zu untersuchen wäre noch, was eigentlich passiert, wenn (q-1) selbst ein quadratischer Rest [mm] \mod{p} [/mm] ist. Dann steht nämlich rechts auch immer ein quadratischer Rest. Mist.
Also leider doch Kommando zurück: Wenn (q-1) ein quadratischer Rest [mm] \mod{p} [/mm] und (p-1) ein quadratischer Rest [mm] \mod{q} [/mm] ist, ist eine Lösung auf diesem Weg nicht auszuschließen.
Das wäre z.B. für p=7, q=19 erfüllt.
Dann suchen wir mal weiter...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Mi 12.01.2011 | | Autor: | wauwau |
Hallo reverend,
ich glaube ich habs jetzt (sogar zwei verschiedene Lösungen)
VAR 1:
p,q sind ja die Lösungen der Gleichung
[mm] x^2 -(r^{a-1}+1)x+(r^a+2) [/mm] = 0
Diskriminante
[mm] D=(r^{a-1}+1)^2-4(r^a+2) [/mm] = [mm] (r^{a-1}-2r)^2+2r^{a-1}-4r^2-7 [/mm] = [mm] (r^{a-1}-2r+1)^2 -4r^2+4r-8
[/mm]
wenn daher a>3 liegt D also [mm] (r^{a-1}-2r)^2 [/mm] < D < [mm] (r^{a-1}-2r+1)^2 [/mm]
zwischen zwei aufeinanderfolg. Quadratzahlen und kann daher selbst keine sein
Den Fall a=3,2 kann man einfacher ausschließen
Var 2: (gefällt mir noch besser)
$pq-2 = r(p+q-1)$ was man auch so schreiben kann
[mm] $(q-r)(p-r)=r^2-r+2$
[/mm]
daraus folgt
[mm] (q-r)
$p-r [mm]
[mm] $r^{a-1}+2 [/mm] = p + q < [mm] 2r^2+4$ [/mm] daraus folgt $a [mm] \le [/mm] 3$
a =1,2,3 kann man dann auch noch irgendwie ausschließen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Mi 12.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo wauwau,
das sieht doch gut aus. Im Moment kann ich es aber nur noch überfliegen, um das wirklich nachzuvollziehen, müsste ich wacher sein. Morgen also...
Das zwischendrin mal vorkommende "p" sollte auch ein "r" sein, oder?
Mir gefällt übrigens die 1. Variante besser, aber Hauptsache, eine der beiden klappt (oder auch beide).
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Di 11.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Seien p,q,r Primzahlen und der Parameter a eine natürliche
> Zahl
> Ermittle die Lösungen des Gleichungssystems
> [mm]p+q=r^{a-1}+1[/mm]
> [mm]p.q = r^a+2[/mm]
>
> Hab leider durch ein Telefonat unterbrochen auf der rechten
> Seite die falsche Primzahl geschrieben...
[mm]p+q=r^{a-1}+1=:A[/mm]
[mm]p.q = r^a+2=:B[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] p=\frac{A}{2}\pm\wurzel{A^2/4-B}
[/mm]
[mm] q=\frac{A}{2}\mp\wurzel{A^2/4-B}
[/mm]
Kann man hier nicht weiter machen und sich überlegen, ob es für p und q überhaupt Lösungen geben kann?
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Di 11.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo gfm,
> [mm]p+q=r^{a-1}+1=:A[/mm]
> [mm]p.q = r^a+2=:B[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]p=\frac{A}{2}\pm\wurzel{A^2/4-B}[/mm]
>
> [mm]q=\frac{A}{2}\mp\wurzel{A^2/4-B}[/mm]
Auch hübsch. 
> Kann man hier nicht weiter machen und sich überlegen, ob
> es für p und q überhaupt Lösungen geben kann?
Tja, da man ja noch die besondere Struktur von A und B berücksichtigen muss, könnte das erfolgreich sein, wer weiß.
Im Moment sehe ich aber überhaupt nichts, was an dieser Stelle gegen die Existenz einer Lösung spricht. Natürlich muss [mm] \wurzel{A^2/4-B} [/mm] dazu eine ganze Zahl sein.
Siehst Du etwas, das dagegen spricht?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Di 11.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo gfm,
> > Im Moment sehe ich aber überhaupt nichts, was an
> dieser
> > Stelle gegen die Existenz einer Lösung spricht. Natürlich
> > muss [mm]\wurzel{A^2/4-B}[/mm] dazu eine ganze Zahl sein.
> >
> > Siehst Du etwas, das dagegen spricht?
>
> Nein, außer mein Bauch. 
Hehe... Das geht mir zwar genauso, aber so Bäuche beweisen ja gemeinhin wenig.
> Hab ein bischen mit Excel herumgespielt und nichts
> gefunden.
Nun, da bin ich vielleicht weiter: Es gibt keine Lösung für p,q<30.000.
Das sagt in der Zahlentheorie nur leider nichts. Es vermittelt nur einen Eindruck davon, ob ein Problem vielleicht trivial ist, obwohl man das gerade nicht sieht.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Di 11.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo wauwau,
das machen hier sonst nur Anfänger: die Frage ohne Kommentar einfach wieder auf statuslos zu stellen. Sie werden dafür normalerweise recht deutlich angegangen, um nicht zu sagen, angepfiffen.
Passt Dir etwas an den Antworten von gfm und mir nicht? Natürlich haben wir beide keine Lösung, aber doch zwei Abwandlungen des Ansatzes, die womöglich zielführend sein könnten? Oder siehst Du, warum sie es nicht sind? Dann sag es bitte.
Vielleicht hast Du all das ja längst probiert, auch dann wäre eine Mitteilung dazu hilfreich.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Di 11.01.2011 | | Autor: | wauwau |
war leider zu früh
Also nichts für Ungut
Habe neue Frage auf deine Mitteilung von vor ca 5 Stunden verfasst..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Di 11.01.2011 | | Autor: | reverend |
Schon gut. Ich hänge gerade.
Interessante Fragestellung bzw. Aufgabe!
Du bist da schon länger dran, wie mir scheint...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 25.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Di 11.01.2011 | | Autor: | wauwau |
was ich noch herausgefunden habe:
p und q müssen >3 sein, denn die Fälle p,q=2,3 kann man leicht ausschließen
Wenn man dann die Angaben mod(6) betrachtet kann man auf
[mm] p\equiv [/mm] q [mm] \equiv [/mm] 1 mod(6) und [mm] r\equiv [/mm] -1 mod(6) mit a ungerade schließen,
was mich letztendlich aber auch noch nicht weiterbringt
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