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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Di 27.12.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | [mm] x_1 [/mm] − [mm] x_2 [/mm] − [mm] 9x_3 +x_4 +x_5 +x_6 +3x_7 [/mm] = [mm] y_1
[/mm]
[mm] 2x_1 [/mm] − [mm] x_2 [/mm] − [mm] 9x_3 +9x_4 +3x_5 +7x_6 +11x_7 [/mm] = [mm] y_2
[/mm]
− [mm] x_1 +3x_2 +27x_3 +13x_4 +2x_5 +9x_6 +9x_7 [/mm] = [mm] y_3
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] − [mm] 2x_2 [/mm] − [mm] 18x_3 [/mm] − [mm] 6x_4 +2x_5 [/mm] − [mm] 4x_6 +2x_7 [/mm] = [mm] y_4
[/mm]
[mm] 2x_1 +x_2 +9x_3 +23x_4 +8x_5 +17x_6 +27x_7 [/mm] = [mm] y_5
[/mm]
W:= [mm] \phi (\IR^4) [/mm] = [mm] \{y \in \IR^5 | \exists x \in \IR^7 : \phi (x) = y \}
[/mm]
Die Menge der y (W) soll durch reelle Zahlen (Basen) parametrisiert werden. |
Gauß und gekürzt lieferte: (nein rechnen kann ich hoffentlich selbst, muss keiner nachprüfen :) )
[mm] x_1 +8x_4 +6x_6 +4x_7 [/mm] = − [mm] 11y_1 +5y_2 [/mm] − [mm] 2y_3
[/mm]
[mm] x_2 +9x_3 +7x_4 +5x_6 +3x_7 [/mm] = − [mm] 7y_1 +3y_2 [/mm] − [mm] y_3
[/mm]
[mm] x_5 +2x_7 [/mm] = [mm] 5y_1 [/mm] − [mm] 2y_2 +y_3
[/mm]
0 = − [mm] 13y_1 +5y_2 [/mm] − [mm] 2y_3 +y_4
[/mm]
0 = − [mm] 11y_1 +3y_2 [/mm] − [mm] 3y_3 +y_5
[/mm]
Nun ist y ein Vektor in [mm] \IR^5 [/mm] , dessen Komponenten den letzten beiden Gleichungen genügen, dann besitzt das gesamte Gleichungssystem eine Lösung.
Ich kann nun [mm] y_1, y_2, y_3 [/mm] belieblig vorgeben und daraus ergibt sich [mm] y_4 [/mm] und [mm] y_5. [/mm]
Aber wie finde ich nun die drei Basen von W ?
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Hallo sissile.
> [mm]x_1[/mm] − [mm]x_2[/mm] − [mm]9x_3 +x_4 +x_5 +x_6 +3x_7[/mm] = [mm]y_1[/mm]
> [mm]2x_1[/mm] − [mm]x_2[/mm] − [mm]9x_3 +9x_4 +3x_5 +7x_6 +11x_7[/mm] = [mm]y_2[/mm]
> − [mm]x_1 +3x_2 +27x_3 +13x_4 +2x_5 +9x_6 +9x_7[/mm] = [mm]y_3[/mm]
> [mm]x_1[/mm] − [mm]2x_2[/mm] − [mm]18x_3[/mm] − [mm]6x_4 +2x_5[/mm] − [mm]4x_6 +2x_7[/mm] =
> [mm]y_4[/mm]
> [mm]2x_1 +x_2 +9x_3 +23x_4 +8x_5 +17x_6 +27x_7[/mm] = [mm]y_5[/mm]
>
> W:= [mm]\phi (\IR^4)[/mm] = [mm]\{y \in \IR^5 | \exists x \in \IR^7 : \phi (x) = y \}[/mm]
>
> Die Menge der y (W) soll durch reelle Zahlen (Basen)
> parametrisiert werden.
> Gauß und gekürzt lieferte: (nein rechnen kann ich
> hoffentlich selbst, muss keiner nachprüfen :) )
> [mm]x_1 +8x_4 +6x_6 +4x_7[/mm] = − [mm]11y_1 +5y_2[/mm] − [mm]2y_3[/mm]
> [mm]x_2 +9x_3 +7x_4 +5x_6 +3x_7[/mm] = − [mm]7y_1 +3y_2[/mm] − [mm]y_3[/mm]
> [mm]x_5 +2x_7[/mm] = [mm]5y_1[/mm] − [mm]2y_2 +y_3[/mm]
> 0 = − [mm]13y_1 +5y_2[/mm] −
> [mm]2y_3 +y_4[/mm]
> 0 = − [mm]11y_1 +3y_2[/mm] − [mm]3y_3 +y_5[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun ist y ein Vektor in [mm]\IR^5[/mm] , dessen Komponenten den
> letzten beiden Gleichungen genügen, dann besitzt das
> gesamte Gleichungssystem eine Lösung.
>
> Ich kann nun [mm]y_1, y_2, y_3[/mm] belieblig vorgeben und daraus
> ergibt sich [mm]y_4[/mm] und [mm]y_5.[/mm]
> Aber wie finde ich nun die drei Basen von W ?
>
Löse die letzten beiden Gleichungen nach [mm]y_{4}, \ y_{5}[/mm] auf
und setze sie in die verbliebenen Gleichungen ein.
Stelle dies zusammen mit den Darstellungen
[mm]y_{4}= ... \ , \ y_{5}=...[/mm]
als Linearkombination von [mm]y_{1},\ y_{2}, \ y_{3}[/mm] dar.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Di 27.12.2011 | | Autor: | sissile |
hallo ;))
das ist ja doch ralativ mühseelig.
Könnte man nicht nur:
[mm] w_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0 \\13\\11}
[/mm]
[mm] w_2= \vektor{0 \\ 1\\0\\-5\\-3}
[/mm]
[mm] w_3= \vektor{0 \\ 0\\1\\2\\3}
[/mm]
aus W und jedes Element von y [mm] \in [/mm] W lässt sich in der Form
y= [mm] t_1 [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0 \\13\\11}+ t_2 *\vektor{0 \\ 1\\0\\-5\\-3} [/mm] + [mm] t_3 *\vektor{0 \\ 0\\1\\2\\3}
[/mm]
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> hallo ;))
>
> das ist ja doch ralativ mühseelig.
> Könnte man nicht nur:
> [mm]w_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
0\\
0 \\
13\\
11}[/mm]
> [mm]w_2= \vektor{0 \\
1\\
0\\
-5\\
-3}[/mm]
>
> [mm]w_3= \vektor{0 \\
0\\
1\\
2\\
3}[/mm]
> aus W
> und jedes Element von
> y [mm]\in[/mm] W lässt sich in der Form
> y= [mm]t_1[/mm] * [mm]\vektor{1 \\
0\\
0 \\
13\\
11}+ t_2 *\vektor{0 \\
1\\
0\\
-5\\
-3}[/mm] + [mm]t_3 *\vektor{0 \\
0\\
1\\
2\\
3}[/mm]
Hallo,
im dritten Vektor scheint mir ein Vorzeichenfehler zu sein, ansonsten kannst du das so machen.
Man kann die Aufgabe übrigens auch etwas anders angehen - je nachdem, was in Deiner Vorlesung dran war.
W ist ja das Bild der Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems:
> $ [mm] x_1 [/mm] $ − $ [mm] x_2 [/mm] $ − $ [mm] 9x_3 +x_4 +x_5 +x_6 +3x_7 [/mm] $ = $ [mm] y_1 [/mm] $
> $ [mm] 2x_1 [/mm] $ − $ [mm] x_2 [/mm] $ − $ [mm] 9x_3 +9x_4 +3x_5 +7x_6 +11x_7 [/mm] $ = $ [mm] y_2 [/mm] $
> − $ [mm] x_1 +3x_2 +27x_3 +13x_4 +2x_5 +9x_6 +9x_7 [/mm] $ = $ [mm] y_3 [/mm] $
> $ [mm] x_1 [/mm] $ − $ [mm] 2x_2 [/mm] $ − $ [mm] 18x_3 [/mm] $ − $ [mm] 6x_4 +2x_5 [/mm] $ − $ [mm] 4x_6 +2x_7 [/mm] $ =
> $ [mm] y_4 [/mm] $
> $ [mm] 2x_1 +x_2 +9x_3 +23x_4 +8x_5 +17x_6 +27x_7 [/mm] $ = $ [mm] y_5 [/mm] $
>
> W:= $ [mm] \phi (\IR^{\red{7}}) [/mm] $ = $ [mm] \{y \in \IR^5 | \exists x \in \IR^7 : \phi (x) = y \} [/mm] $
Es ist also mit den einschlägigen Methoden eine Basis des von den 7 Vektoren [mm] \vektor{1\\2\\-1\\1\\2}, [/mm] ..., [mm] \vektor{3\\11\\9\\2\\27} [/mm] aufgespannten Raumes zu berechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Di 27.12.2011 | | Autor: | sissile |
danke für die Antwort,
[mm] y_1, y_2, y_3 [/mm] sind schon beliebig wählbar, ich hätte also auch andere Zahlen einsetzten können!? Woher weiß ich dann dass [mm] w_1,w_2,w_3 [/mm] die Basen sind? Sind die Basen nicht eindeutig bestimmt oder irre ich mich jetzt vollkommen??
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> danke für die Antwort,
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> [mm]y_1, y_2, y_3[/mm] sind schon beliebig wählbar, ich hätte also
> auch andere Zahlen einsetzten können!? Woher weiß ich
> dann dass [mm]w_1,w_2,w_3[/mm] die Basen sind? Sind die Basen nicht
> eindeutig bestimmt oder irre ich mich jetzt vollkommen??
Hallo,
[mm] w_1, w_2, w_3 [/mm] sind keine Basen von W.
Es sind die Elemente einer Basis von W. Aufmerke: einer Basis.
Nein, Basen sind i.a. nicht eindeutig bestimmt - es gibt meist sehr viele Basen. Eindeutig ist die Anzahl der Basiselemente.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Di 27.12.2011 | | Autor: | sissile |
> Hallo,
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> [mm]w_1, w_2, w_3[/mm] sind keine Basen von W.
> Es sind die Elemente einer Basis von W. Aufmerke: einer
> Basis.
>
> Nein, Basen sind i.a. nicht eindeutig bestimmt - es gibt
> meist sehr viele Basen. Eindeutig ist die Anzahl der
> Basiselemente.
>
Hei. Woher weiß ich dann, dass sich jedes Element in W so darstellen lässt?
> y= $ [mm] t_1 [/mm] $ * $ [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0 \\ 13\\ 11}+ t_2 \cdot{}\vektor{0 \\ 1\\ 0\\ -5\\ -3} [/mm] $ + $ [mm] t_3 \cdot{}\vektor{0 \\ 0\\ 1\\ 2\\ 3} [/mm] $
LG
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> Hei. Woher weiß ich dann, dass sich jedes Element in W so
> darstellen lässt?
> > y= [mm]t_1[/mm] * [mm]\vektor{1 \\
0\\
0 \\
13\\
11}+ t_2 \cdot{}\vektor{0 \\
1\\
0\\
-5\\
-3}[/mm] + [mm]t_3 \cdot{}\vektor{0 \\
0\\
1\\
2\\
3}[/mm]
Hallo,
Du bist ja drollig: das war doch Deine (!) Idee, und Du wirst Dir etwas dabei gedacht haben, oder?
Du hattest in Deiner ZSF als letzte Zeilen
0 = − $ [mm] 13y_1 +5y_2 [/mm] $ − $ [mm] 2y_3 +y_4 [/mm] $
0 = − $ [mm] 11y_1 +3y_2 [/mm] $ − $ [mm] 3y_3 +y_5 [/mm] $.
Dies sind die Zeilen, die über die Lösbarkeit des LGS entscheiden.
und dieses homogene LGS hast Du gelöst - wie, das wirst Du selbst am besten wissen.
Auf jeden Fall hat das GS den Rang 2, und weil es 5 Variablen hat, kann man 3 Variablen frei wählen. Du hast Dich für die freie Wahl von [mm] y_1, y_2, y_3 [/mm] entschieden,
und mit
[mm] y_1:=t_1
[/mm]
[mm] y_2:=t_2
[/mm]
[mm] y_3:=t_3
[/mm]
bekommst Du
[mm] y_4=$ 13t_1 -5t_2 [/mm] $ + $ [mm] 2t_3 [/mm]
[mm] y_5=..
[/mm]
und daraus Dein Ergebnis.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Di 27.12.2011 | | Autor: | sissile |
Ja das war mir dann schon klar. Habe nur zuvor gezweifelt an meiner Lösung, deshalb die Frage.
Danke fürs eklären!
LG
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