Gleichungssystem Extrema +NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A1: f(x,y) = x³+y²-xy ; NB = x²+y=0
A2: f(x,y) = 4xy ; NB = 4x²+9y²=36 |
Hallo zusammen.
Ich stagniere ein wenig an dem Gleichungssystemen zweier Aufgaben. Könntet Ihr bitte Tipps geben und ggf. beim Lösen helfen.
Mit der Gaus'schen Elimination kam ich wegen den Potenzen und der Tatsache das zwei Unbekannte in einem Term stehen nicht weiter. Und beim Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren fehlt es mir Wohl an Weitblick bzw. Ideen. Was kam an der Stelle generell tun? Gibt es hierfür ein gesondertes Verfahren?
Mein Ansatz bei A1 war:
A1: f(x,y) = x³+y²-xy ; NB = x²+y=0
[mm] f_{x} [/mm] = 3x²-y ; [mm] f_{y} [/mm] = 2y-x
[mm] NB_{x} [/mm] = 2x ; [mm] NB_{y} [/mm] = 1
Folgendes G-System folgt daraus:
3x² - y + k2x =0
-x + 2y + k1 =0
x² + y =0
Mein Ansatz bei A2 war:
A2: f(x,y) = 4xy ; NB = 4x²+9y²=36
[mm] f_{x} [/mm] = 4y ; [mm] f_{y} [/mm] = 4x
[mm] NB_{x} [/mm] = 8x ; [mm] NB_{y} [/mm] = 18y
Folgendes G-System folgt daraus:
4y + k8x =0
4x + k18y =0
4x²+ 9y² =36
Danke im Voraus
Bastian
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Hallo,
Gleichungssysteme, die nicht linear sind, können ja sehr verschieden ausfallen.
Eine allgemeingültige Vorgehensweise, die immer funktioniert, gibt es nicht.
Bei Lagrangeaugaben ist es oftmals gut, wenn man zunächst einmal den Parameter [mm] \lambda [/mm] (bzw. bei Dir:k) rauswirft, denn es ist ja eine Hilfsvariable, für die man sich meist nicht weiter interessiert.
Ansonsten: gut ist, was die Sache einfach macht...
Viel Üben und selbst rechnen hilft mehr als lange Erklärungen.
> A1: f(x,y) = x³+y²-xy ; NB = x²+y=0
>
> Mein Ansatz bei A1 war:
>
> A1: f(x,y) = x³+y²-xy ; NB = x²+y=0
>
> [mm]f_{x}[/mm] = 3x²-y ; [mm]f_{y}[/mm] = 2y-x
> [mm]NB_{x}[/mm] = 2x ; [mm]NB_{y}[/mm] = 1
Ja.
>
> Folgendes G-System folgt daraus:
>
> I.3x² - y + k2x =0
> II. -x + 2y + k1 =0
> III.x² + y =0
Genau.
A.
Ich würde bei diesem Gleichungssystem damit beginnen, II. nach k aufzulösen, und dieses k in I. und III. einzusetzen.
Ergibt:
I'. [mm] 0=3x^2-y+(x-2y)*2y=3x^2-y+2xy-4y^2
[/mm]
III'. [mm] x^2+y=0.
[/mm]
Nun kannst Du III' nach y auflösen, in I' einsetzen und die möglichen x-Werte errechnen.
B.
Fall Du damit beginnen möchtest, zunächst das k in I. freizustellen, mußt Du den Fall, daß x=0 ist, gesondert untersuchen.
Für [mm] x\not=0 [/mm] bekommst Du [mm] k=\bruch{y-3x^2}{2x}, [/mm] setzt in II. ein, und machst damit irgendwie weiter.
Für x=0 bekommst Du "automatisch" aus I. auch y=0, eingesetzt in II. k=0, und eingesetzt in III. eine wahre Aussage. (0|0) ist also ein kritischer Punkt
C.
Du könntest auch zunächst aus III. [mm] y=-x^2 [/mm] gewinnen, dies in die beiden anderen Gleichungen einsetzen und gucken, wie Du weiterkommst.
D.
In der Tat könntest Du durch passendes Addieren von Gleichungen in 2 der Gleichungen das y schnell loswerden,
oder das Quadrat in der ersten Gleichung herauswerfen.
Vieles ist möglich.
Am besten beginnst Du mal, und wenn Du nicht zur Lösung kommst, zeige mal vor, was Du getan und gerechnet hast.
> A2: f(x,y) = 4xy ; NB = 4x²+9y²=36
>
> Mein Ansatz bei A2 war:
>
>
> [mm]f_{x}[/mm] = 4y ; [mm]f_{y}[/mm] = 4x
> [mm]NB_{x}[/mm] = 8x ; [mm]NB_{y}[/mm] = 18y
>
> Folgendes G-System folgt daraus:
>
> 4y + k8x =0
> 4x + k18y =0
> 4x²+ 9y² =36
Alles richtig bisher.
Vielleicht startest Du mal, nachdem Du Dich mit Aufg. 1 nach Anleitung vergnügt hast, hier einen eigenen Lösungsversuch.
LG Angela
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