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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Mo 06.11.2006 | | Autor: | dth100 |
| Aufgabe | 2x + y + z = 0
-2rx + ry + 9z = 6
2x + 2y + rz = 1
a) für welche r ist das System eindeutig lösbar, bestimmen Sie r
b)für welche r existieren unednlich viele Lösungen?
c) für welche r existieren keine Lösungen |
Hallo, bin echt am verzweifeln, ich muss das doch irgendwie so umformen, dass irgendwo ein quotient steht, und wenn dann der nenner 0 wird, gibts keine Lsg., wenn Z=0, aber Nungleich 0, gibts unendlich viele Lsg und wenn beides nicht der fall ist, kann ich r berechnen
Aber ich bekomm die Umformung nicht hin, da bleibt dauernd dieses r doppelt stehen, oder [mm] r^2 [/mm] kann mir bitte jemand den Lösungsweg posten, wär euch echt dankbar
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Hallo,
es gibt mehrere Lösungswege. Am einfachsten wäre das ganze, wenn Ihr im Unterricht Matrizen und ihre Determinante besprochen habt. Ein LGS ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist. Als Koeffizientenmatrix bekommst Du:
[mm] $A=\pmat{2&1&1\\ -2r&r&9\\ 2&2&r}$
[/mm]
Die Determinante dieser Matrix kann man z.B. mit der ![[]](/images/popup.gif) Regel von Sarrus berechnen und erhält:
[mm] $Det(A)=4r^2-6r-18$
[/mm]
Dieser Term darf nicht Null sein. Man rechnet also erstmal aus, wann er Null wird. Mit der  pq-Formel bekommt man:
[mm] $4r^2-6r-18=0$ [/mm] gilt für $r=3$ oder für $r=-1,5$. In diesen beiden Fällen ist das Gleichungssystem also nicht eindeutig lösbar. Für alle anderen Zahlen $r$ ist es eindeutig lösbar.
Falls Ihr es so nicht gemacht habt, gibt es wie gesagt auch noch andere Wege.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Mo 06.11.2006 | | Autor: | MasterEd |
Ich habe Dir nur eine Antwort zu a) gegeben. Sorry, b) und c) hatte ich überlesen. Für b) und c) müsste man es wohl doch mit Zeilenumformungen machen (Gauß-Verfahren). Willst Du es erstmal alleine probieren? Sonst helfe ich Dir...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Mo 06.11.2006 | | Autor: | dth100 |
Also ich hab noch nie etwas von einer Matritze gehört :-(( wir haben sowas in der Art ja schonmal per Gleichungssystem gelöst, theoretisch weiß ich ja auch den Ansatz (diese Quotientenumformung) aber ich bekomm es bei dieser Aufgabe einfacvh nciht hin, wär nett, wenn mir das jemand nochmal schritt für schritt erklären würde  Vielen Dank
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Sorry, ist noch etwas früh am Tag 
Also, das LGS ist für alle Zahlen $r$ außer für $r=3$ oder $r=-1,5$ eindeutig lösbar. Wenn es unendlich viele bzw. keine Lösung geben soll, kann dies nur noch in den Fällen $r=3$ oder $r=-1,5$ passieren.
Setze in der Matrix mal $r=3$ ein. Dann kannst Du sie durch Zeilenumformungen auf eine Form bringen, dass da eine Nullzeile auftaucht. In diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen.
Setze in der Matrix nun mal $r=-1,5$ ein. Dann passiert das gleiche, wieder kann man eine Nullzeile erzeugen. Auch hier gibt es unendlich viele Lösungen.
Die vollständige Antwort auf die Frage lautet daher:
- Das LGS ist eindeutig lösbar für alle reellen Zahlen $r$ außer für $r=3$ oder $r=-1,5$ .
- Unendlich viele Lösungen gibt es in beiden Fällen für $r=3$ oder $r=-1,5$ .
- Für keine Zahl $r$ ist das LGS unlösbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Mo 06.11.2006 | | Autor: | dth100 |
Ähm Matritzen? Hab ich noch nie gehört, wie löst man denn das mitm gleichungssystem?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mo 06.11.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Hans!
> Ähm Matritzen? Hab ich noch nie gehört, wie löst man denn
> das mitm gleichungssystem?
Die Dinger heißen Matrizen, in der Einzahl Matrix.
Du kannst das GLS auch zu Fuß lösen (nach Gauß z. B.) und findest dann
z = [mm] \bruch{6-2r}{-2*r^{2} + 3r +9} [/mm] usw. oder besser um den Nenner zu vermeiden
[mm] (-2*r^{2} [/mm] + 3*r + 9)*z = 6-2*r
Gruß aus HH-harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Mo 06.11.2006 | | Autor: | statler |
> Sorry, ist noch etwas früh am Tag
>
> Also, das LGS ist für alle Zahlen [mm]r[/mm] außer für [mm]r=3[/mm] oder
> [mm]r=-1,5[/mm] eindeutig lösbar. Wenn es unendlich viele bzw. keine
> Lösung geben soll, kann dies nur noch in den Fällen [mm]r=3[/mm]
> oder [mm]r=-1,5[/mm] passieren.
>
> Setze in der Matrix mal [mm]r=3[/mm] ein. Dann kannst Du sie durch
> Zeilenumformungen auf eine Form bringen, dass da eine
> Nullzeile auftaucht. In diesem Fall gibt es unendlich viele
> Lösungen.
>
> Setze in der Matrix nun mal [mm]r=-1,5[/mm] ein. Dann passiert das
> gleiche, wieder kann man eine Nullzeile erzeugen. Auch hier
> gibt es unendlich viele Lösungen.
Hier nicht, weil rechts nicht der Nullvektor steht! Bei -1,5 gibt es keine Lösung. Es tauchen also alle 3 Möglichkeiten auf.
> Die vollständige Antwort auf die Frage lautet daher:
>
> - Das LGS ist eindeutig lösbar für alle reellen Zahlen [mm]r[/mm]
> außer für [mm]r=3[/mm] oder [mm]r=-1,5[/mm] .
Ja
> - Unendlich viele Lösungen gibt es in beiden Fällen für
> [mm]r=3[/mm]
Auch ja
> oder [mm]r=-1,5[/mm] .
> - Für keine Zahl [mm]r[/mm] ist das LGS unlösbar.
Nein, s. o.
(Oder ich habe mich verrechnet wg. Mittagszeit)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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